Calcule os possíveis valores de S L para l=1 e s=1 / 2.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular os possíveis valores de quando e . Isso está dentro do estudo de momentum angular na física quântica. Para resolver, vamos precisar entender como o spin ( ) e o momentum angular orbital ( ) interagem e se combinam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto escalar S cdot L = 12 ( J^2 - L^2 - S^2 ) pode ser relacionado com os quadrados dos operadores de momentum angular total ( ), orbital ( ) e de spin ( ) pela fórmula:
Aqui, é o momentum angular total.

Passo 3

Precisamos descobrir os possíveis valores de j = l + s = 1 + 12 = 32 quando combinamos j = l - s = 1 - 12 = 12 e . Como e , os valores possíveis de são:
Então, pode ser ou .

Passo 4

Vamos calcular J^2 = j(j + 1) hbar^2 para cada valor de J^2 = 32 ( 32 + 1 ) hbar^2 = 32 cdot 52 hbar^2 = 154 hbar^2 .
Primeiro, calculamos J^2 = 12 ( 12 + 1 ) hbar^2 = 12 cdot 32 hbar^2 = 34 hbar^2 :
Para :
Para :

Passo 5

Sabemos que:
L^2 = l(l + 1) hbar^2 = 1 cdot 2 hbar^2 = 2 hbar^2
S^2 = s(s + 1) hbar^2 = 12 cdot 32 hbar^2 = 34 hbar^2

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula para S cdot L = 12 ( 154 hbar^2 - 2 hbar^2 - 34 hbar^2 ) = 12 ( 154 - 84 - 34 ) hbar^2 = 12 cdot 44 hbar^2 = 12 hbar^2 :
Para S cdot L = 12 ( 34 hbar^2 - 2 hbar^2 - 34 hbar^2 ) = 12 ( 34 - 84 - 34 ) hbar^2 = 12 cdot ( -84 ) hbar^2 = -hbar^2 :
Para :

Resposta

Os possíveis valores de boxed 12 hbar^2 e -hbar^2 para e são:

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