Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita da forma:
Isso envolve séries infinitas e fatoração de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais e entender como séries telescópicas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para isso, vamos fatorar esse polinômio:
Então, nossa soma fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Para achar
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Primeiro, deixe
:
Agora, deixe
:
Então, a fração parcial fica:
Passo 5
Substituindo de volta na soma original:
Isso forma uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Vemos que a partir de
em diante, os termos se cancelam. Restam apenas os primeiros dois termos que não possuem cancelamento.
Passo 7
Portanto, a soma da série é:
Resposta
A soma da série é
.