Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
© sumn=1^infty 1n^2+6 n+8

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita da forma:
sumn=1^infty 1n^2 + 6n + 8
Isso envolve séries infinitas e fatoração de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais e entender como séries telescópicas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador n^2 + 6n + 8 = (n + 2)(n + 4) . Para isso, vamos fatorar esse polinômio:
sumn=1^infty 1(n + 2)(n + 4)
Então, nossa soma fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números 1(n + 2)(n + 4) = An + 2 + Bn + 4 e 1 = A(n + 4) + B(n + 2) tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Para achar 1 = A(-4 + 4) + B(-4 + 2) Rightarrow 1 = B(-2) Rightarrow B = -12 e 1 = A(-2 + 4) + B(-2 + 2) Rightarrow 1 = A(2) Rightarrow A = 12 , vamos escolher valores de 1(n + 2)(n + 4) = 12(n + 2) - 12(n + 4) que simplifiquem a equação. Primeiro, deixe :
Agora, deixe :
Então, a fração parcial fica:

Passo 5

Substituindo de volta na soma original:
sumn=1^infty 1(n + 2)(n + 4) = 12 sumn=1^infty ( 1n + 2 - 1n + 4 )
Isso forma uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
12 ( ( 13 - 15 ) + ( 14 - 16 ) + ( 15 - 17 ) + cdots )
Vemos que a partir de em diante, os termos se cancelam. Restam apenas os primeiros dois termos que não possuem cancelamento.

Passo 7

Portanto, a soma da série é:
12 ( 13 + 14 ) = 12 ( 712 ) = 724

Resposta

A soma da série é .

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