Calcule se possivel, os limites abaixo:
e) lim (x, y) (e, 0) ln (x+y)

Passo 1

Vamos calcular o limite de ln(x + y) quando (x, y) se aproxima de (e, 0). Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e a continuidade da função logaritmo natural. Precisamos verificar o comportamento de x + y perto de (e, 0) e aplicar a propriedade da continuidade do ln.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando (x, y) se aproxima de (e, 0), os valores de x e y se aproximam de e e 0, respectivamente. Isso significa que x + y se aproxima de e + 0 = e.

Passo 3

Sabemos que a função logaritmo natural, ln(z), é contínua para z > 0. A continuidade de uma função nos permite trocar o limite pela função, ou seja:
lim(x, y) to (e, 0) ln(x + y) = ln(lim(x, y) to (e, 0) (x + y))

Passo 4

Calculando o limite dentro do logaritmo:
lim(x, y) to (e, 0) (x + y) = e + 0 = e

Passo 5

Aplicando a continuidade da função logaritmo:
ln(lim(x, y) to (e, 0) (x + y)) = ln(e)

Resposta

O limite é igual a 1, pois ln(e) = 1.

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