Considere a função
Utilize a definição de diferenciabilidade para avaliar se
é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é usar a definição de diferenciabilidade pra ver se essa função é diferenciável no ponto
. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável num ponto e verificar se a função cumpre esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear nesse ponto. Mais tecnicamente, isso significa que:
Onde
e
são as derivadas parciais da função em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
no ponto
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Para que esse limite exista finitamente, precisamos que
, ou seja,
. Se
, o limite tende a zero ou ao infinito, dependendo de
.
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Então, a derivada parcial em
sempre é zero.
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição de diferenciabilidade usando a definição. Precisamos ver se:
Substituindo os valores que encontramos:
Se
, o termo
será proporcional a
, que para
tende a zero mais rápido que
. Portanto, o limite será zero, confirmando a diferenciabilidade.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
se e somente se
.