Considere a função
f(x, y) = { x8^d / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0,0) ; 0 se (x, y) = (0,0) }
Utilize a definição de diferenciabilidade para avaliar se f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é usar a definição de diferenciabilidade pra ver se essa função é diferenciável no ponto (0,0). Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável num ponto e verificar se a função cumpre esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear nesse ponto. Mais tecnicamente, isso significa que:
Onde e são as derivadas parciais da função em relação a x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f no ponto (0,0).
Primeiro, a derivada parcial em relação a x:
Para que esse limite exista finitamente, precisamos que , ou seja, . Se , o limite tende a zero ou ao infinito, dependendo de d.
Agora, a derivada parcial em relação a y:
Então, a derivada parcial em y sempre é zero.

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de diferenciabilidade usando a definição. Precisamos ver se:
Substituindo os valores que encontramos:
Se , o termo será proporcional a , que para tende a zero mais rápido que . Portanto, o limite será zero, confirmando a diferenciabilidade.

Resposta

A função f é diferenciável no ponto (0,0) se e somente se .

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