Calcule se possivel, os limites abaixo:
j) lim (x, y, z) (1, raiz3,-1) arctan (x y z)

Passo 1

Ok, pessoal, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função de três variáveis, ou seja, . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de limites em funções multivariáveis, e vamos precisar saber sobre continuidade de funções e propriedades da função arco-tangente ( ) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua em . Sabemos que a função arco-tangente é contínua para todos os números reais, ou seja, não tem descontinuidades. Isso é importante porque, se a função é contínua, o limite dela no ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Como a função u = x y z quando (x, y, z) (1, raiz3, -1) é contínua, podemos calcular o limite substituindo diretamente os valores de u = 1 times raiz3 times (-1) = -raiz3 , e pelo ponto para o qual estamos calculando o limite. Então, vamos substituir:
Calculando :

Passo 4

Agora que temos arctan(-raiz3) , podemos calcular o valor da função arctan(-raiz3) = -pi3 :
Sabemos que , e como a função é ímpar ( ), temos:

Resposta

Portanto, o limite é .

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