Calcule, se possível, os seguintes limites: lim x -infty(1+3x)^x

Passo 1

Então, temos que calcular o limite quando tende a menos infinito de . Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites em cálculo, e vamos precisar usar propriedades de exponenciais e logaritmos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa expressão usando o logaritmo natural. Lembrando que ln(limx to -infty (1 + 3x)^x) = limx to -infty x cdot ln(1 + 3x) , podemos reescrever o limite como:
Isso nos ajuda a transformar o problema de uma potência em um produto, que é mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de ln(1 + 3x) approx 3x quando limx to -infty x cdot 3x = limx to -infty 3 = 3 vai para menos infinito. Sabemos que, para valores grandes de , é muito pequeno. Usando a aproximação quando é próximo de zero, temos:
Portanto, o limite fica:

Passo 4

Lembrando que calculamos o logaritmo do limite original e obtivemos 3. Para encontrar o limite original, precisamos aplicar a função exponencial:
limx to -infty (1 + 3x)^x = e^3

Resposta

O limite é .

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