Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função
e identificar várias características dela. Para resolver isso, vamos precisar entender de:
- Domínio de funções
- Interseções com os eixos
- Assíntotas
- Derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, e concavidade
- Ponto de inflexão e extremos relativos
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode assumir sem problemas, como divisão por zero.
A função é
. O denominador
não pode ser zero, então
.
Domínio:
e
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo Y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo Y, colocamos . Mas aí não dá, porque está proibido
. Então, não tem interseção com o eixo Y.
Para encontrar onde a função cruza o eixo Y, colocamos
Interseções com o eixo X:
Para onde :
Para onde
Isso acontece quando o numerador é zero:
Essa equação pode ser resolvida numericamente ou por tentativas. Descobrimos que
é uma solução:
Ops, na verdade, não tem solução simples. Então, não há interseção com o eixo X.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
Ocorrendo quando o denominador é zero, ou seja, . Vamos ver o comportamento próximo de
:
Ocorrendo quando o denominador é zero, ou seja,
Então, tem uma assíntota vertical em
.
Assíntotas horizontais ou oblíquas:
Analisamos o limite quando e
:
Analisamos o limite quando
Então, não há assíntotas horizontais ou oblíquas.
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos críticos e a concavidade.
Primeira derivada
:
Usamos a regra do quociente:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Testando
:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 7
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada.
- Para
, por exemplo :
Então, decrescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
Então, crescendo nesse intervalo.
Passo 8
Vamos identificar os extremos relativos.
Como
muda de negativo para positivo em
, isso indica um mínimo relativo em
.
Calculando
:
Então, o mínimo relativo é em
.
Passo 9
Agora, vamos analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão usando a segunda derivada.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada
:
Usamos a regra do quociente novamente:
Usamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Simplificando mais:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos
:
Essa equação pode ser resolvida numericamente e encontramos que
é uma solução.
Passo 10
Vamos resumir tudo e esboçar o gráfico:
- Domínio:
- Interseções: Nenhuma com os eixos
- Assíntota vertical:
- Ponto crítico: Mínimo relativo em
- Crescimento/Decrescimento:
- Decresce para
- Cresce para
- Decresce para
- Concavidade:
- Possui inflexão em
- Possui inflexão em
O gráfico terá uma assíntota vertical em
, decrescendo até
, onde atinge o mínimo, e depois crescendo. Haverá uma inflexão perto de
.
Resposta
O gráfico da função
possui domínio para todos os reais exceto
. Não intercepta os eixos Y ou X. Tem uma assíntota vertical em
. Apresenta um mínimo relativo no ponto
, decrescendo para
e crescendo para
. A concavidade muda de côncava para convexa aproximadamente em
, indicando um ponto de inflexão. O esboço reflete essas características com a assíntota vertical e o comportamento de crescimento e concavidade conforme descrito.