Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver): f(x) = (x^3 - x + 1) / (x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função e identificar várias características dela. Para resolver isso, vamos precisar entender de:
  • Domínio de funções
  • Interseções com os eixos
  • Assíntotas
  • Derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, e concavidade
  • Ponto de inflexão e extremos relativos

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode assumir sem problemas, como divisão por zero.
A função é . O denominador não pode ser zero, então .
Domínio: e

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
Interseção com o eixo Y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo Y, colocamos . Mas aí não dá, porque está proibido . Então, não tem interseção com o eixo Y.
Interseções com o eixo X:
Para onde :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Essa equação pode ser resolvida numericamente ou por tentativas. Descobrimos que é uma solução:
Ops, na verdade, não tem solução simples. Então, não há interseção com o eixo X.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
Ocorrendo quando o denominador é zero, ou seja, . Vamos ver o comportamento próximo de :
Então, tem uma assíntota vertical em .
Assíntotas horizontais ou oblíquas:
Analisamos o limite quando e :
Então, não há assíntotas horizontais ou oblíquas.

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos críticos e a concavidade.
Primeira derivada :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Testando :
Então, é um ponto crítico.

Passo 7

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada.
  • Para , por exemplo :
Então, decrescendo nesse intervalo.
  • Para , por exemplo :
Então, crescendo nesse intervalo.

Passo 8

Vamos identificar os extremos relativos.
Como muda de negativo para positivo em , isso indica um mínimo relativo em .
Calculando :
Então, o mínimo relativo é em .

Passo 9

Agora, vamos analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão usando a segunda derivada.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada :
Usamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Simplificando mais:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos :
Essa equação pode ser resolvida numericamente e encontramos que é uma solução.

Passo 10

Vamos resumir tudo e esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • Interseções: Nenhuma com os eixos
  • Assíntota vertical:
  • Ponto crítico: Mínimo relativo em
  • Crescimento/Decrescimento:
    • Decresce para
    • Cresce para
  • Concavidade:
    • Possui inflexão em
O gráfico terá uma assíntota vertical em , decrescendo até , onde atinge o mínimo, e depois crescendo. Haverá uma inflexão perto de .

Resposta

O gráfico da função possui domínio para todos os reais exceto . Não intercepta os eixos Y ou X. Tem uma assíntota vertical em . Apresenta um mínimo relativo no ponto , decrescendo para e crescendo para . A concavidade muda de côncava para convexa aproximadamente em , indicando um ponto de inflexão. O esboço reflete essas características com a assíntota vertical e o comportamento de crescimento e concavidade conforme descrito.

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