Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas implícitas, porque a equação não está resolvida para uma das variáveis. Basicamente, vamos descobrir a inclinação da reta tangente naquele ponto e usar a equação da reta na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente. Como a equação é e não está resolvida para , vamos usar a derivada implícita. Diferenciando ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra do produto na esquerda:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :

Passo 4

Agora que temos a expressão para a derivada, vamos calcular a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Utilizando derivação implícita, determine :
Determine a derivada de cada função a seguir:
Dada a função , calcule .
Calcule, se possível, os seguintes limites: