Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas implícitas, porque a equação não está resolvida para uma das variáveis. Basicamente, vamos descobrir a inclinação da reta tangente naquele ponto e usar a equação da reta na forma ponto-inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente. Como a equação é e não está resolvida para , vamos usar a derivada implícita. Diferenciando ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra do produto na esquerda:
Passo 3
Agora, vamos resolver para :
Passo 4
Agora que temos a expressão para a derivada, vamos calcular a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 5
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação: