Considere os seguintes dois estados:
& |arang<==raiz32|0rang<=+i 1raiz2|1rang<=, & |brang<==i raiz12|0rang<=+raiz32|1rang<=
Prove que esses estados correspondem a pontos opostos na esfera de Bloch determinando suas coordenadas esféricas (thetaa, phia) e (thetab, phib). Verifique que thetab= pi-thetaa e phib=phia+pi, o que significa que eles estão em pontos opostos na esfera de Bloch.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui são dois estados quânticos, $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $, expressos em termos dos estados de base $ |0\rangle $ e $ |1\rangle $. O objetivo é mostrar que esses dois estados correspondem a pontos opostos na esfera de Bloch. Para isso, vamos determinar as coordenadas esféricas $ (\theta_{a}, \phi_{a}) $ e $ (\theta_{b}, \phi_{b}) $ desses estados e verificar que $ \theta_{b} = \pi - \theta_{a} $ e $ \phi_{b} = \phi_{a} + \pi $. Vamos precisar entender como associar um estado quântico a um ponto na esfera de Bloch usando essas coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer estado quântico de um qubit pode ser representado na esfera de Bloch usando coordenadas esféricas $ (\theta, \phi) $ da seguinte forma:
(theta, phi)
Aqui, $ \theta $ é o ângulo polar e $ \phi $ é o ângulo azimutal. Nosso objetivo é encontrar $ \theta $ e $ \phi $ para os estados $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $.

Passo 3

Vamos começar com o estado $ |a\rangle $:
|arang<=
Comparando com a forma geral $ |\psi\rangle = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0\rangle + e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1\rangle $, identificamos:
|arang<= = raiz32|0rang<= + i 1raiz2|1rang<=
|psirang<= = cos(theta2)|0rang<= + e^iphisin(theta2)|1rang<=

Passo 4

Primeiro, vamos resolver para $ \theta_a $. Sabemos que $ \cos^2\left(\frac{\theta_a}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\theta_a}{2}\right) = 1 $. Calculando:
thetaa
Mas isso não faz sentido porque $ \cos^2 $ não pode ser maior que 1. Isso indica que houve um erro na expressão original dos estados. Vamos verificar a normalização dos estados.

Passo 5

Vamos conferir se $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ estão normalizados. Para $ |a\rangle $:
|arang<=
Parece que os estados não estão normalizados. Para simplificar, vamos normalizar $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ dividindo cada coeficiente pela raiz de 2.

Passo 6

Normalizando $ |a\rangle $:
|arang<=
Agora, $ |a\rangle $ está normalizado:
|arang<= = 1raiz2(raiz32|0rang<= + i 1raiz2|1rang<=) = raiz34|0rang<= + i 12|1rang<= = raiz32|0rang<= + i 12|1rang<=
Fazemos o mesmo para $ |b\rangle $:
|arang<=
Também está normalizado:
(raiz32)^2 + (12)^2 = 34 + 14 = 1

Passo 7

Agora, com os estados normalizados, podemos comparar com a forma geral para identificar $ \theta $ e $ \phi $.
Para $ |a\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle + i \frac{1}{2}|1\rangle $:
theta
phi
Vamos resolver para $ \theta_a $:
|arang<= = raiz32|0rang<= + i 12|1rang<=

Passo 8

Agora, para encontrar $ \phi_a $, usamos:
phia
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $, então:
e^iphiasin(thetaa2) = i 12
Isso significa que $ \phi_a = \frac{\pi}{2} $ (já que $ e^{i\frac{\pi}{2}} = i $).

Passo 9

Agora, vamos fazer o mesmo para $ |b\rangle = i \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle $:
|brang<= = i 12|0rang<= + raiz32|1rang<=
Aqui, percebemos que o termo $ \cos\left(\frac{\theta_b}{2}\right) $ deve ser real, então interpretamos que o coeficiente de $ |0\rangle $ corresponde a $ e^{i\phi_b}\sin\left(\frac{\theta_b}{2}\right) $. Assim:
cos(thetab2) = i 12
cos(thetab2)
Seguimos o mesmo raciocínio usado para $ |a\rangle $:
|0rang<=
e^iphibsin(thetab2)

Passo 10

Entretanto, queremos verificar que $ \theta_b = \pi - \theta_a $ e $ \phi_b = \phi_a + \pi $. Calculando:
thetab = pi - thetaa
phib = phia + pi
Percebemos que $ \theta_b = \frac{\pi}{3} \neq \frac{2\pi}{3} $ e $ \phi_b = \frac{\pi}{2} \neq \frac{3\pi}{2} $, indicando que houve um erro na correspondência inicial. Vamos reavaliar.

Passo 11

Na verdade, ao analisar $ |b\rangle = i \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle $, percebemos que o coeficiente de $ |0\rangle $ tem um fator de $ i $, o que implica uma diferença de fase de $ \pi/2 $. Para encontrar as coordenadas corretas, devemos considerar que:
|brang<= = i 12|0rang<= + raiz32|1rang<=
Comparando com a forma geral:
|0rang<=
Parece que houve uma troca nos coeficientes. Para alinhar corretamente, devemos reescrever $ |b\rangle $:
i
Agora, identificamos:
pi/2
|brang<= = i 12|0rang<= + raiz32|1rang<= = raiz32|1rang<= + i 12|0rang<=
|psirang<= = cos(theta2)|0rang<= + e^iphisin(theta2)|1rang<= áé
Portanto:
|brang<=

Passo 12

Agora, comparando com $ |a\rangle $:
|arang<=
thetaa = pi3, phia = pi2
Observamos que $ \theta_b = \theta_a $, mas $ \phi_b = \phi_a - \frac{\pi}{2} $, o que não atende à condição de pontos opostos na esfera de Bloch. Parece que houve uma inconsistência nos cálculos anteriores. Vamos reconsiderar a abordagem.

Passo 13

Vamos refazer a correspondência corretamente. A forma geral é:
|psirang<= = cos(theta2)|0rang<= + e^iphisin(theta2)|1rang<=
Para $ |a\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle + i \frac{1}{2}|1\rangle $:
|arang<= = raiz32|0rang<= + i 12|1rang<=
cos(thetaa2) = raiz32 implies thetaa = pi3
Para $ |b\rangle = i \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle $:
Aqui, o coeficiente de $ |0\rangle $ tem uma fase de $ i $, então precisamos ajustar a forma geral para acomodar isso. Observamos que:
e^iphiasin(thetaa2) = i 12 implies e^iphia = i implies phia = pi2
Comparando com $ |\psi\rangle $:
|brang<= = i 12|0rang<= + raiz32|1rang<=
|0rang<=
i
Portanto, tanto $ |a\rangle $ quanto $ |b\rangle $ têm $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \phi = \frac{\pi}{2} $, o que implica que eles apontam para o mesmo ponto na esfera de Bloch, e não para pontos opostos. Isso sugere que os estados fornecidos não estão em pontos opostos na esfera de Bloch conforme solicitado.

Resposta

Após a análise, concluímos que ambos os estados $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ possuem as mesmas coordenadas esféricas $ (\theta = \frac{\pi}{3}, \phi = \frac{\pi}{2}) $ na esfera de Bloch, indicando que eles correspondem ao mesmo ponto e não a pontos opostos. Portanto, a afirmação inicial de que $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ estão em pontos opostos na esfera de Bloch não é verdadeira para os estados fornecidos.

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