Considere os seguintes dois estados:
Prove que esses estados correspondem a pontos opostos na esfera de Bloch determinando suas coordenadas esféricas
e
. Verifique que
e
, o que significa que eles estão em pontos opostos na esfera de Bloch.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui são dois estados quânticos, $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $, expressos em termos dos estados de base $ |0\rangle $ e $ |1\rangle $. O objetivo é mostrar que esses dois estados correspondem a pontos opostos na esfera de Bloch. Para isso, vamos determinar as coordenadas esféricas $ (\theta_{a}, \phi_{a}) $ e $ (\theta_{b}, \phi_{b}) $ desses estados e verificar que $ \theta_{b} = \pi - \theta_{a} $ e $ \phi_{b} = \phi_{a} + \pi $. Vamos precisar entender como associar um estado quântico a um ponto na esfera de Bloch usando essas coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer estado quântico de um qubit pode ser representado na esfera de Bloch usando coordenadas esféricas $ (\theta, \phi) $ da seguinte forma:
Aqui, $ \theta $ é o ângulo polar e $ \phi $ é o ângulo azimutal. Nosso objetivo é encontrar $ \theta $ e $ \phi $ para os estados $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $.
Passo 3
Vamos começar com o estado $ |a\rangle $:
Comparando com a forma geral $ |\psi\rangle = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0\rangle + e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1\rangle $, identificamos:
Passo 4
Primeiro, vamos resolver para $ \theta_a $. Sabemos que $ \cos^2\left(\frac{\theta_a}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\theta_a}{2}\right) = 1 $. Calculando:
Mas isso não faz sentido porque $ \cos^2 $ não pode ser maior que 1. Isso indica que houve um erro na expressão original dos estados. Vamos verificar a normalização dos estados.
Passo 5
Vamos conferir se $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ estão normalizados. Para $ |a\rangle $:
Parece que os estados não estão normalizados. Para simplificar, vamos normalizar $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ dividindo cada coeficiente pela raiz de 2.
Passo 6
Normalizando $ |a\rangle $:
Agora, $ |a\rangle $ está normalizado:
Fazemos o mesmo para $ |b\rangle $:
Também está normalizado:
Passo 7
Agora, com os estados normalizados, podemos comparar com a forma geral para identificar $ \theta $ e $ \phi $.
Para $ |a\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle + i \frac{1}{2}|1\rangle $:
Vamos resolver para $ \theta_a $:
Passo 8
Agora, para encontrar $ \phi_a $, usamos:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $, então:
Isso significa que $ \phi_a = \frac{\pi}{2} $ (já que $ e^{i\frac{\pi}{2}} = i $).
Passo 9
Agora, vamos fazer o mesmo para $ |b\rangle = i \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle $:
Aqui, percebemos que o termo $ \cos\left(\frac{\theta_b}{2}\right) $ deve ser real, então interpretamos que o coeficiente de $ |0\rangle $ corresponde a $ e^{i\phi_b}\sin\left(\frac{\theta_b}{2}\right) $. Assim:
Seguimos o mesmo raciocínio usado para $ |a\rangle $:
Passo 10
Entretanto, queremos verificar que $ \theta_b = \pi - \theta_a $ e $ \phi_b = \phi_a + \pi $. Calculando:
Percebemos que $ \theta_b = \frac{\pi}{3} \neq \frac{2\pi}{3} $ e $ \phi_b = \frac{\pi}{2} \neq \frac{3\pi}{2} $, indicando que houve um erro na correspondência inicial. Vamos reavaliar.
Passo 11
Na verdade, ao analisar $ |b\rangle = i \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle $, percebemos que o coeficiente de $ |0\rangle $ tem um fator de $ i $, o que implica uma diferença de fase de $ \pi/2 $. Para encontrar as coordenadas corretas, devemos considerar que:
Comparando com a forma geral:
Parece que houve uma troca nos coeficientes. Para alinhar corretamente, devemos reescrever $ |b\rangle $:
Agora, identificamos:
Portanto:
Passo 12
Agora, comparando com $ |a\rangle $:
Observamos que $ \theta_b = \theta_a $, mas $ \phi_b = \phi_a - \frac{\pi}{2} $, o que não atende à condição de pontos opostos na esfera de Bloch. Parece que houve uma inconsistência nos cálculos anteriores. Vamos reconsiderar a abordagem.
Passo 13
Vamos refazer a correspondência corretamente. A forma geral é:
Para $ |a\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle + i \frac{1}{2}|1\rangle $:
Para $ |b\rangle = i \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle $:
Aqui, o coeficiente de $ |0\rangle $ tem uma fase de $ i $, então precisamos ajustar a forma geral para acomodar isso. Observamos que:
Comparando com $ |\psi\rangle $:
Portanto, tanto $ |a\rangle $ quanto $ |b\rangle $ têm $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \phi = \frac{\pi}{2} $, o que implica que eles apontam para o mesmo ponto na esfera de Bloch, e não para pontos opostos. Isso sugere que os estados fornecidos não estão em pontos opostos na esfera de Bloch conforme solicitado.
Resposta
Após a análise, concluímos que ambos os estados $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ possuem as mesmas coordenadas esféricas $ (\theta = \frac{\pi}{3}, \phi = \frac{\pi}{2}) $ na esfera de Bloch, indicando que eles correspondem ao mesmo ponto e não a pontos opostos. Portanto, a afirmação inicial de que $ |a\rangle $ e $ |b\rangle $ estão em pontos opostos na esfera de Bloch não é verdadeira para os estados fornecidos.