Calcule y' se y = f(x) é uma função derivável, definida implicitamente pelas equações dadas abaixo: x^3 - 3 x^2 y^4 + y^3 = 6 x + 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é derivável e está definida de forma implícita pela equação:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de Derivação Implícita, que nos permite encontrar a derivada quando está definida em termos de de forma não explícita. Precisaremos aplicar a regra da cadeia e derivar cada termo em relação a .

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então quando diferenciamos termos que envolvem , usamos a regra da cadeia.
Diferenciando termo a termo:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada individualmente:
  1. Para , aplicamos a regra do produto:
  1. usa a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo todas as derivadas de volta na equação diferenciada:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com :

Passo 6

Fatorando do lado esquerdo da equação:

Passo 7

Isolando :

Resposta

A derivada é:

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