Calcule lim x -2 x^3-3 x+2x^2-4.

Passo 1

Vamos calcular o limite de x^3-3x+2x^2-4 quando x se aproxima de -2. Esse exercício pertence ao estudo de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como fatorar polinômios e simplificar expressões racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = -2 diretamente na expressão:
(-2)^3 - 3(-2) + 2(-2)^2 - 4 = -8 + 6 + 24 - 4 = 00
Obtemos uma expressão indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a fração antes de calcular o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador: x^3 - 3x + 2
Tentamos encontrar as raízes desse polinômio. Testando x = 1:
1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Então, (x - 1) é um fator. Usando a divisão polinomial ou o método de fatoração, temos:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2)
Agora, fatorando x^2 + x - 2:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Portanto, o numerador fica:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2 (x + 2)
Denominador: x^2 - 4
Esse é um caso de diferença de quadrados, que pode ser fatorado como:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, substituímos na expressão original:
(x - 1)^2 (x + 2)(x - 2)(x + 2)
Podemos simplificar cancelando o fator comum (x + 2):
(x - 1)^2x - 2

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo x = -2:
(-2 - 1)^2-2 - 2 = (-3)^2-4 = 9-4 = -94

Resposta

O limite de x^3-3x+2x^2-4 quando x se aproxima de -2 é -94.

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