Calcule as primeiras 3 derivadas de y(x) = e^(1 / x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as primeiras três derivadas da função . A matéria aqui é derivadas de funções compostas, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada: basicamente, é a taxa de variação de uma função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como muda quando muda.

Passo 3

Para encontrar a primeira derivada , usamos a regra da cadeia. A função onde . A derivada de em relação a é .

Passo 4

Calculando , temos , então . Assim, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, para a segunda derivada , vamos derivar . Novamente, aplicamos a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 6

Derivando :
Usando a regra do quociente:

Passo 7

Finalmente, para a terceira derivada , vamos derivar . Novamente, aplicamos a regra da cadeia e do produto.

Passo 8

Derivando :
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Simplificando mais, fica:

Resposta

As primeiras três derivadas de são:

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