Calcule as primeiras 3 derivadas de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as primeiras três derivadas da função
. A matéria aqui é derivadas de funções compostas, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada: basicamente, é a taxa de variação de uma função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como
muda quando
muda.
Passo 3
Para encontrar a primeira derivada
, usamos a regra da cadeia. A função
onde
. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calculando
, temos
, então
. Assim, a primeira derivada fica:
Passo 5
Agora, para a segunda derivada
, vamos derivar
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 6
Derivando
:
Usando a regra do quociente:
Passo 7
Finalmente, para a terceira derivada
, vamos derivar
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia e do produto.
Passo 8
Derivando
:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Simplificando mais, fica:
Resposta
As primeiras três derivadas de
são: