integral x^2 cdot sen x d u=-x^2 cdot cos x+integral cos x cdot 2 x d x
u=x^2=-x^2 cdot cos x+2 integral x cdot cos x d x d u=2 x d x d u=sen x d x
=-x^2 cos x+2(x sen x+cos x)
v=-cos x
integral x cdot cos x d x & =x cdot sen x-integral sen x d x & =x sen x+cos x
d u=d x
d v=cos x d x v=sen x

Passo 1

Vamos entender o que a questão nos pede. Precisamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos utilizar o método de integração por partes, que é ideal para integrar o produto de duas funções. Vamos identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos as funções u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx e dv = sen x , dx Rightarrow v = -cos x :
Por que escolhemos assim?
  • Escolhemos porque ao derivar, simplificamos a expressão.
  • Escolhemos porque a integral de é fácil de calcular.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores escolhidos:
Simplificando:
integral x^2 cdot sen x , dx = x^2 cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot 2x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = x Rightarrow du = dx . Vamos usar novamente a integração por partes.
Escolhemos:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sen x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando:
Onde integral x^2 sen x , dx = -x^2 cos x + 2 ( x sen x + cos x ) é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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