Definem-se as funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh) pondo
senh(x) = (e^x - e^-x) / 2 cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2
Verifique as propriedades senh(a+b) = senh(a) * cosh(b) + cosh(a) * senh(b) e cosh(a+b) cosh(a) * cosh(b) + senh(a) * senh(b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar duas propriedades das funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh). Essas funções têm fórmulas que envolvem exponenciais, como mostrado no enunciado:
O conteúdo que precisamos usar aqui são as propriedades das funções hiperbólicas e as regras de manipulação de exponenciais. Vamos precisar aplicar essas definições para expandir e e ver se elas igualam às expressões que o exercício quer que a gente confirme.

Passo 2

Vamos começar verificando a primeira propriedade: . Para isso, vamos usar a definição de e expandir .
Pela definição:

Passo 3

Agora, vamos simplificar e usando as propriedades dos expoentes:
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos lembrar das definições de , , e :
Vamos multiplicar e :

Passo 5

Vamos expandir as multiplicações:

Passo 6

Somando e :
Isso é exatamente igual à expressão que encontramos para :

Passo 7

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: . Usamos a definição de para expandir .
Pela definição:
Usando as propriedades dos expoentes:

Passo 8

Vamos multiplicar e :

Passo 9

Expandindo as multiplicações:

Passo 10

Somando e :
Isso é igual à expressão que encontramos para :

Resposta

As duas propriedades foram verificadas e estão corretas:

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