Definem-se as funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh) pondo
Verifique as propriedades
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar duas propriedades das funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh). Essas funções têm fórmulas que envolvem exponenciais, como mostrado no enunciado:
O conteúdo que precisamos usar aqui são as propriedades das funções hiperbólicas e as regras de manipulação de exponenciais. Vamos precisar aplicar essas definições para expandir
e
e ver se elas igualam às expressões que o exercício quer que a gente confirme.
Passo 2
Vamos começar verificando a primeira propriedade:
. Para isso, vamos usar a definição de
e expandir
.
Pela definição:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
e
usando as propriedades dos expoentes:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos lembrar das definições de
,
,
e
:
Vamos multiplicar
e
:
Passo 5
Vamos expandir as multiplicações:
Passo 6
Somando
e
:
Isso é exatamente igual à expressão que encontramos para
:
Passo 7
Agora, vamos verificar a segunda propriedade:
. Usamos a definição de
para expandir
.
Pela definição:
Usando as propriedades dos expoentes:
Passo 8
Vamos multiplicar
e
:
Passo 9
Expandindo as multiplicações:
Passo 10
Somando
e
:
Isso é igual à expressão que encontramos para
:
Resposta
As duas propriedades foram verificadas e estão corretas: