Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, entre 294 e 297 sejam vacinadas.

Passo 1

Vamos analisar o problema: Temos uma localidade com 300 crianças e queremos calcular a probabilidade de que entre 294 e 297 delas sejam vacinadas. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de probabilidade binomial, que é útil quando queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, considerando que cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • n: número total de tentativas (neste caso, 300 crianças).
  • k: número de sucessos desejados (entre 294 e 297 crianças vacinadas).
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (probabilidade de uma criança ser vacinada).
Como o valor de p não foi fornecido no enunciado, vamos considerar que é uma variável que representa essa probabilidade.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de ter k sucessos.
  • é a probabilidade de ter n - k insucessos.

Passo 4

Queremos calcular a probabilidade de que entre 294 e 297 crianças sejam vacinadas. Isso significa que devemos somar as probabilidades de k = 294, k = 295, k = 296 e k = 297.
Então, nossa probabilidade total P = P(294) + P(295) + P(296) + P(297) será:

Passo 5

Substituindo na fórmula da probabilidade binomial:
P = binom300294 times p^294 times (1-p)^6 + binom300295 times p^295 times (1-p)^5 + binom300296 times p^296 times (1-p)^4 + binom300297 times p^297 times (1-p)^3

Passo 6

Calculando cada coeficiente binomial:
binom300294 = 300!294! times 6! binom300295 = 300!295! times 5! binom300296 = 300!296! times 4! binom300297 = 300!297! times 3!
Esses valores calculados vão nos dar o número de combinações possíveis para cada caso.

Passo 7

Após calcular os coeficientes binomiais, substituímos esses valores de volta na equação da probabilidade total e simplificamos para obter a probabilidade desejada.

Resposta

A probabilidade de que entre 294 e 297 das 300 crianças sejam vacinadas é dada por:
P = sumk=294^297 binom300k times p^k times (1-p)^300 - k

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