Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema. Temos 300 crianças em uma localidade e queremos calcular a probabilidade de que pelo menos 295 delas sejam vacinadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, considerando uma probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos:
  1. Um número fixo de tentativas (n).
  2. Cada tentativa tem duas possíveis saídas: sucesso ou falha.
  3. A probabilidade de sucesso (p) é a mesma em cada tentativa.
No nosso caso:
  • n = 300 (número de crianças).
  • Sucesso: a criança é vacinada.
  • p: probabilidade de uma criança ser vacinada.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente k sucessos.
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • é a probabilidade de falha em uma tentativa.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 295 crianças serem vacinadas, ou seja, . Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial para cada valor de k:
Isso deve ser calculado para e depois somar todos esses valores para obter a probabilidade total.

Passo 6

No entanto, calcular isso diretamente pode ser complicado devido ao grande valor de k e n. Uma alternativa é usar uma aproximação normal, mas isso funciona bem quando e são grandes, e k não está nas extremidades.
Neste caso, como k está muito próximo de n, a aproximação normal pode não ser a mais apropriada. Portanto, é recomendado usar software ou calculadoras estatísticas que consigam calcular distribuições binomiais com valores grandes.

Resposta

A probabilidade de que, em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas é dada pela soma das probabilidades de exatamente 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas, conforme a distribuição binomial:
Observação: Para calcular um valor numérico, é necessário conhecer a probabilidade de uma criança ser vacinada.

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Essa campanha de vacinação deve vacinar 2000 crianças em uma localidade com 3980 crianças. Usando como a probabilidade de uma criança ser vacinada e calculando a Esperança, é possível afirmar que essa meta será atingida? Discuta a sua resposta.
Lista de Exercícios de Modelos Probabilísticos para Computação
  1. Defina com suas próprias palavras:
    I. Distribuições de Probabilidade
    II. Ensaio de Bernoulli
    III. Distribuição de Bernoulli
    IV. Distribuição Binomial
    V. Aplicações da Distribuição Binomial
    VI. Distribuição de Poisson
    VII. Aplicações da Distribuição de Poisson
    VIII. Distribuição Uniforme
    IX. Aplicações da Distribuição Uniforme
    X. Distribuição Normal
    XI. Aplicações da Distribuição Normal
    XII. Distribuição Normal Padrão
    XIII. Tabela Normal
    XIV. Amostragem
    XV. Amostragem não probabilista
    XVI. Amostragem probabilista
    XVII. Amostragem devido a Inacessibilidade da população
    XVIII. Amostragem a esmo ou sem norma
    XIX. Amostragem de população contínua
    XX. Amostragem intencional
    XXI. Amostragem Aleatória simples
    XXII. Amostragem Sistemática
    XXIII. Amostragem por Conglomerados
    XXIV. Amostragem Estratificada
    XXV. Amostragem Múltipla
    XXVI. Distribuições Amostrais
    XXVII. Distribuição Amostral da Média
    XXVIII. Aproximação Normal para a Distribuição Amostral da Média
    XXIX. Distribuição Amostral da Proporção
    XXX. Estimação Pontual
    XXXI. Estimação por Intervalo
    XXXII. Nível de Confiança
    XXXIII. Intervalo de Confiança para Média
    XXXIV. Condições para se calcular um Intervalo de Confiança para Média
    XXXV. Distribuição t de Student
    XXXVI. Intervalo de Confiança para Proporção
Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, entre 294 e 297 sejam vacinadas.
Uma urna contém 30 bolas brancas, 20 bolas verdes e 10 bolas amarelas. Cinco bolas são retiradas ao acaso desta urna e com reposição. Seja o número de bolas amarelas retiradas. Determine:
a) a função de probabilidade de ;
b) calcule a probabilidade de se obter pelo menos 3 bolas serem amarelas;
c) calcule a probabilidade de se obter entre 2 e 4 bolas amarelas;
d) calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 bolas serem amarelas, sabendo-se que uma das bolas retiradas foi branca
e) A esperança e a variância de .