Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema. Temos 300 crianças em uma localidade e queremos calcular a probabilidade de que pelo menos 295 delas sejam vacinadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, considerando uma probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos:
  1. Um número fixo de tentativas (n).
  2. Cada tentativa tem duas possíveis saídas: sucesso ou falha.
  3. A probabilidade de sucesso (p) é a mesma em cada tentativa.
No nosso caso:
  • n = 300 (número de crianças).
  • Sucesso: a criança é vacinada.
  • p: probabilidade de uma criança ser vacinada.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = dbinomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente k sucessos.
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • é a probabilidade de falha em uma tentativa.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 295 crianças serem vacinadas, ou seja, P(X >= 295) = P(X = 295) + P(X = 296) + dots + P(X = 300) . Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial para cada valor de k:
P(X = k) = dbinom300k cdot p^k cdot (1 - p)^300 - k
Isso deve ser calculado para e depois somar todos esses valores para obter a probabilidade total.

Passo 6

No entanto, calcular isso diretamente pode ser complicado devido ao grande valor de k e n. Uma alternativa é usar uma aproximação normal, mas isso funciona bem quando e são grandes, e k não está nas extremidades.
Neste caso, como k está muito próximo de n, a aproximação normal pode não ser a mais apropriada. Portanto, é recomendado usar software ou calculadoras estatísticas que consigam calcular distribuições binomiais com valores grandes.

Resposta

A probabilidade de que, em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas é dada pela soma das probabilidades de exatamente 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas, conforme a distribuição binomial:
P(X >= 295) = sumk=295^300 dbinom300k cdot p^k cdot (1 - p)^300 - k
Observação: Para calcular um valor numérico, é necessário conhecer a probabilidade de uma criança ser vacinada.

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