Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema. Temos 300 crianças em uma localidade e queremos calcular a probabilidade de que pelo menos 295 delas sejam vacinadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, considerando uma probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos:
- Um número fixo de tentativas (n).
- Cada tentativa tem duas possíveis saídas: sucesso ou falha.
- A probabilidade de sucesso (p) é a mesma em cada tentativa.
No nosso caso:
- n = 300 (número de crianças).
- Sucesso: a criança é vacinada.
- p: probabilidade de uma criança ser vacinada.
Passo 3
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
é a probabilidade de exatamente k sucessos. -
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas. -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa. -
é a probabilidade de falha em uma tentativa.
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 295 crianças serem vacinadas, ou seja,
. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial para cada valor de k:
Isso deve ser calculado para
e depois somar todos esses valores para obter a probabilidade total.
Passo 6
No entanto, calcular isso diretamente pode ser complicado devido ao grande valor de k e n. Uma alternativa é usar uma aproximação normal, mas isso funciona bem quando
e
são grandes, e k não está nas extremidades.
Neste caso, como k está muito próximo de n, a aproximação normal pode não ser a mais apropriada. Portanto, é recomendado usar software ou calculadoras estatísticas que consigam calcular distribuições binomiais com valores grandes.
Resposta
A probabilidade de que, em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas é dada pela soma das probabilidades de exatamente 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas, conforme a distribuição binomial:
Observação: Para calcular um valor numérico, é necessário conhecer a probabilidade
de uma criança ser vacinada.
Exercícios relacionados
Essa campanha de vacinação deve vacinar 2000 crianças em uma localidade com 3980 crianças. Usando
como a probabilidade de uma criança ser vacinada e calculando a Esperança, é possível afirmar que essa meta será atingida? Discuta a sua resposta.
- Defina com suas próprias palavras:
I. Distribuições de Probabilidade
II. Ensaio de Bernoulli
III. Distribuição de Bernoulli
IV. Distribuição Binomial
V. Aplicações da Distribuição Binomial
VI. Distribuição de Poisson
VII. Aplicações da Distribuição de Poisson
VIII. Distribuição Uniforme
IX. Aplicações da Distribuição Uniforme
X. Distribuição Normal
XI. Aplicações da Distribuição Normal
XII. Distribuição Normal Padrão
XIII. Tabela Normal
XIV. Amostragem
XV. Amostragem não probabilista
XVI. Amostragem probabilista
XVII. Amostragem devido a Inacessibilidade da população
XVIII. Amostragem a esmo ou sem norma
XIX. Amostragem de população contínua
XX. Amostragem intencional
XXI. Amostragem Aleatória simples
XXII. Amostragem Sistemática
XXIII. Amostragem por Conglomerados
XXIV. Amostragem Estratificada
XXV. Amostragem Múltipla
XXVI. Distribuições Amostrais
XXVII. Distribuição Amostral da Média
XXVIII. Aproximação Normal para a Distribuição Amostral da Média
XXIX. Distribuição Amostral da Proporção
XXX. Estimação Pontual
XXXI. Estimação por Intervalo
XXXII. Nível de Confiança
XXXIII. Intervalo de Confiança para Média
XXXIV. Condições para se calcular um Intervalo de Confiança para Média
XXXV. Distribuição t de Student
XXXVI. Intervalo de Confiança para Proporção
Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, entre 294 e 297 sejam vacinadas.
Uma urna contém 30 bolas brancas, 20 bolas verdes e 10 bolas amarelas. Cinco bolas são retiradas ao acaso desta urna e com reposição. Seja
o número de bolas amarelas retiradas. Determine:
a) a função de probabilidade de ;
b) calcule a probabilidade de se obter pelo menos 3 bolas serem amarelas;
c) calcule a probabilidade de se obter entre 2 e 4 bolas amarelas;
d) calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 bolas serem amarelas, sabendo-se que uma das bolas retiradas foi branca
e) A esperança e a variância de .
a) a função de probabilidade de
b) calcule a probabilidade de se obter pelo menos 3 bolas serem amarelas;
c) calcule a probabilidade de se obter entre 2 e 4 bolas amarelas;
d) calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 bolas serem amarelas, sabendo-se que uma das bolas retiradas foi branca
e) A esperança e a variância de