Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema. Temos 300 crianças em uma localidade e queremos calcular a probabilidade de que pelo menos 295 delas sejam vacinadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, considerando uma probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos:
- Um número fixo de tentativas (n).
- Cada tentativa tem duas possíveis saídas: sucesso ou falha.
- A probabilidade de sucesso (p) é a mesma em cada tentativa.
No nosso caso:
- n = 300 (número de crianças).
- Sucesso: a criança é vacinada.
- p: probabilidade de uma criança ser vacinada.
Passo 3
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
é a probabilidade de exatamente k sucessos. -
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas. -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa. -
é a probabilidade de falha em uma tentativa.
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 295 crianças serem vacinadas, ou seja,
. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial para cada valor de k:
Isso deve ser calculado para
e depois somar todos esses valores para obter a probabilidade total.
Passo 6
No entanto, calcular isso diretamente pode ser complicado devido ao grande valor de k e n. Uma alternativa é usar uma aproximação normal, mas isso funciona bem quando
e
são grandes, e k não está nas extremidades.
Neste caso, como k está muito próximo de n, a aproximação normal pode não ser a mais apropriada. Portanto, é recomendado usar software ou calculadoras estatísticas que consigam calcular distribuições binomiais com valores grandes.
Resposta
A probabilidade de que, em uma localidade com 300 crianças, no mínimo 295 sejam vacinadas é dada pela soma das probabilidades de exatamente 295, 296, …, até 300 crianças vacinadas, conforme a distribuição binomial:
Observação: Para calcular um valor numérico, é necessário conhecer a probabilidade
de uma criança ser vacinada.