Uma urna contém 30 bolas brancas, 20 bolas verdes e 10 bolas amarelas. Cinco bolas são retiradas ao acaso desta urna e com reposição. Seja X o número de bolas amarelas retiradas. Determine:
a) a função de probabilidade de X;
b) calcule a probabilidade de se obter pelo menos 3 bolas serem amarelas;
c) calcule a probabilidade de se obter entre 2 e 4 bolas amarelas;
d) calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 bolas serem amarelas, sabendo-se que uma das bolas retiradas foi branca
e) A esperança e a variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma urna com:
  • 30 bolas brancas
  • 20 bolas verdes
  • 10 bolas amarelas
Vamos tirar 5 bolas, uma de cada vez, com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, colocamos de volta na urna antes de tirar a próxima). Queremos descobrir algumas coisas sobre quantas bolas amarelas a gente pode tirar, que a gente chama de variável aleatória .
Vamos precisar usar probabilidade binomial, que é super útil quando temos uma sequência de experimentos independentes (como tirar bolas com reposição) e queremos contar quantas vezes um certo evento acontece (neste caso, tirar uma bola amarela).

Passo 2

a) Função de probabilidade de p = número de bolas amarelastotal de bolas = 1030 + 20 + 10 = 1060 = 16

Primeiro, vamos achar a função de probabilidade de q = 1 - p = 1 - 16 = 56 , que nos diz a probabilidade de tirar exatamente P(X = k) = binom5k ( 16 )^k ( 56 )^5 - k bolas amarelas em 5 tentativas.
Cada tentativa é independente e a probabilidade de tirar uma bola amarela em uma única tentativa é:
ú
E a probabilidade de não tirar uma bola amarela é:
Como estamos lidando com distribuição binomial, a função de probabilidade é:
onde .

Passo 3

b) Probabilidade de obter pelo menos 3 bolas amarelas

Queremos calcular P(X >= 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) , ou seja, a probabilidade de tirar 3, 4 ou 5 bolas amarelas.
Usando a função de probabilidade que encontramos:
P(X = 3) = binom53 ( 16 )^3 ( 56 )^2 = 10 times 1216 times 2536 approx 0,03215
Vamos calcular cada termo:
Para P(X = 4) = binom54 ( 16 )^4 ( 56 )^1 = 5 times 11296 times 56 approx 0,00321 :
P(X = 5) = binom55 ( 16 )^5 ( 56 )^0 = 1 times 17776 times 1 approx 0,00013
Para P(X >= 3) approx 0,03215 + 0,00321 + 0,00013 approx 0,03549 :
Para :
Somando tudo:
Então, aproximadamente 3,55%.

Passo 4

c) Probabilidade de obter entre 2 e 4 bolas amarelas

Agora, queremos P(X = 2) = binom52 ( 16 )^2 ( 56 )^3 = 10 times 136 times 125216 approx 0,08024 , ou seja, tirar 2, 3 ou 4 bolas amarelas.
Vamos calcular cada uma:
Para P(X = 3) approx 0,03215 :
P(X = 4) approx 0,00321
Já calculamos P(2 <= X <= 4) approx 0,08024 + 0,03215 + 0,00321 approx 0,1156 e anteriormente:
Somando:
Ou seja, aproximadamente 11,56%.

Passo 5

d) Probabilidade de obter exatamente 3 bolas amarelas, sabendo que uma das bolas retiradas foi branca

Aqui, queremos P(X = 3 , | , 1 branca) = binom43 ( 16 )^3 ( 13 )^1 .
Primeiro, vamos entender o que isso significa. Sabendo que uma das 5 bolas tiradas é branca, queremos saber a probabilidade de exatamente 3 delas serem amarelas.
Passo 1: Sabemos que uma bola é branca, então das 5 bolas, uma é branca e as outras 4 podem ser verdes ou amarelas.
Mas vamos considerar:
  • Número total de bolas: 60
  • Probabilidade de tirar uma bola branca: binom43 = 4
  • Probabilidade de tirar uma bola amarela: P(X = 3 , | , 1 branca) = 4 times 1216 times 13 = 4648 approx 0,00617
  • Probabilidade de tirar uma bola verde:
Passo 2: Como uma bola é branca, vamos focar nas outras 4 bolas. Queremos que exatamente 3 delas sejam amarelas.
Passo 3: A probabilidade de tirar 3 amarelas e 1 verde nas 4 restantes segue a distribuição binomial:
Calculando:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 0,617%.

Passo 6

e) Esperança e variância de E(X) = n times p

Para uma distribuição binomial, a esperança (ou média) e a variância são dadas por:
Var(X) = n times p times q
E(X) = 5 times 16 = 56 approx 0,833
Onde:
  • Var(X) = 5 times 16 times 56 = 2536 approx 0,694 (número de tentativas)
  • (probabilidade de sucesso em cada tentativa)
Calculando a esperança:
Então, a esperança é de aproximadamente 0,833 bolas amarelas.
Calculando a variância:
Portanto, a variância é de aproximadamente 0,694.

Resposta

a) A função de probabilidade de P(X = k) = binom5k ( 16 )^k ( 56 )^5 - k, k = 0,1,2,3,4,5 é:
b) A probabilidade de obter pelo menos 3 bolas amarelas é aproximadamente 3,55%.
c) A probabilidade de obter entre 2 e 4 bolas amarelas é aproximadamente 11,56%.
d) A probabilidade de obter exatamente 3 bolas amarelas, sabendo que uma delas foi branca, é aproximadamente 0,617%.
e) A esperança de é 0,833 e a variância de é 0,694.

Exercícios relacionados