Uma urna contém 30 bolas brancas, 20 bolas verdes e 10 bolas amarelas. Cinco bolas são retiradas ao acaso desta urna e com reposição. Seja
o número de bolas amarelas retiradas. Determine:
a) a função de probabilidade de
;
b) calcule a probabilidade de se obter pelo menos 3 bolas serem amarelas;
c) calcule a probabilidade de se obter entre 2 e 4 bolas amarelas;
d) calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 bolas serem amarelas, sabendo-se que uma das bolas retiradas foi branca
e) A esperança e a variância de
.
a) a função de probabilidade de
b) calcule a probabilidade de se obter pelo menos 3 bolas serem amarelas;
c) calcule a probabilidade de se obter entre 2 e 4 bolas amarelas;
d) calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 bolas serem amarelas, sabendo-se que uma das bolas retiradas foi branca
e) A esperança e a variância de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma urna com:
- 30 bolas brancas
- 20 bolas verdes
- 10 bolas amarelas
Vamos tirar 5 bolas, uma de cada vez, com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, colocamos de volta na urna antes de tirar a próxima). Queremos descobrir algumas coisas sobre quantas bolas amarelas a gente pode tirar, que a gente chama de variável aleatória
.
Vamos precisar usar probabilidade binomial, que é super útil quando temos uma sequência de experimentos independentes (como tirar bolas com reposição) e queremos contar quantas vezes um certo evento acontece (neste caso, tirar uma bola amarela).
Passo 2
a) Função de probabilidade de
Primeiro, vamos achar a função de probabilidade de
, que nos diz a probabilidade de tirar exatamente
bolas amarelas em 5 tentativas.
Cada tentativa é independente e a probabilidade de tirar uma bola amarela em uma única tentativa é:
E a probabilidade de não tirar uma bola amarela é:
Como estamos lidando com distribuição binomial, a função de probabilidade é:
onde
.
Passo 3
b) Probabilidade de obter pelo menos 3 bolas amarelas
Queremos calcular
, ou seja, a probabilidade de tirar 3, 4 ou 5 bolas amarelas.
Usando a função de probabilidade que encontramos:
Vamos calcular cada termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Somando tudo:
Então, aproximadamente 3,55%.
Passo 4
c) Probabilidade de obter entre 2 e 4 bolas amarelas
Agora, queremos
, ou seja, tirar 2, 3 ou 4 bolas amarelas.
Vamos calcular cada uma:
Para
:
Já calculamos
e
anteriormente:
Somando:
Ou seja, aproximadamente 11,56%.
Passo 5
d) Probabilidade de obter exatamente 3 bolas amarelas, sabendo que uma das bolas retiradas foi branca
Aqui, queremos
.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. Sabendo que uma das 5 bolas tiradas é branca, queremos saber a probabilidade de exatamente 3 delas serem amarelas.
Passo 1: Sabemos que uma bola é branca, então das 5 bolas, uma é branca e as outras 4 podem ser verdes ou amarelas.
Mas vamos considerar:
- Número total de bolas: 60
- Probabilidade de tirar uma bola branca:
- Probabilidade de tirar uma bola amarela:
- Probabilidade de tirar uma bola verde:
Passo 2: Como uma bola é branca, vamos focar nas outras 4 bolas. Queremos que exatamente 3 delas sejam amarelas.
Passo 3: A probabilidade de tirar 3 amarelas e 1 verde nas 4 restantes segue a distribuição binomial:
Calculando:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 0,617%.
Passo 6
e) Esperança e variância de
Para uma distribuição binomial, a esperança (ou média) e a variância são dadas por:
Onde:
-
(número de tentativas) -
(probabilidade de sucesso em cada tentativa) -
Calculando a esperança:
Então, a esperança é de aproximadamente 0,833 bolas amarelas.
Calculando a variância:
Portanto, a variância é de aproximadamente 0,694.
Resposta
a) A função de probabilidade de
é:
b) A probabilidade de obter pelo menos 3 bolas amarelas é aproximadamente 3,55%.
c) A probabilidade de obter entre 2 e 4 bolas amarelas é aproximadamente 11,56%.
d) A probabilidade de obter exatamente 3 bolas amarelas, sabendo que uma delas foi branca, é aproximadamente 0,617%.
e) A esperança de
é 0,833 e a variância de
é 0,694.
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Seja uma variável aleatória
com distribuição Uniforme com parâmetros
e
. Calcule:
a) A função densidade de probabilidade na sua forma analítica;
b) A função acumulada na sua forma analítica;
c) Determine a média e a variância.
a) A função densidade de probabilidade na sua forma analítica;
b) A função acumulada na sua forma analítica;
c) Determine a média e a variância.
Pelo histórico da secretaria de saúde pública de um determinado município, obteve-se a informação de que um indivíduo qualquer da sua população contrair gripe em no período de um ano é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro
. Calcule a probabilidade de que um indivíduo qualquer nessa cidade contraia gripe:
a) No máximo uma vez em um ano.
b) Nenhuma vez no ano.
c) Exatamente 3 vezes em um ano.
d) Entre 3 e 5 vezes em um ano.
a) No máximo uma vez em um ano.
b) Nenhuma vez no ano.
c) Exatamente 3 vezes em um ano.
d) Entre 3 e 5 vezes em um ano.