Essa campanha de vacinação deve vacinar 2000 crianças em uma localidade com 3980 crianças. Usando
como a probabilidade de uma criança ser vacinada e calculando a Esperança, é possível afirmar que essa meta será atingida? Discuta a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma campanha de vacinação que quer vacinar 2000 crianças num total de 3980 crianças na localidade. A gente vai usar
como a probabilidade de uma criança ser vacinada. O que precisamos fazer é calcular a Esperança (ou valor esperado) pra ver se, em média, a campanha vai atingir a meta de vacinar 2000 crianças. Vamos precisar entender um pouco de probabilidade e como calcular a esperança de uma variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na variável aleatória
que representa o número de crianças vacinadas. Cada criança tem uma probabilidade
de ser vacinada, e como temos várias crianças, podemos modelar isso com uma distribuição binomial.
A Esperança (ou valor esperado) de uma distribuição binomial é dada por:
onde
é o número total de ensaios (nesse caso, crianças) e
é a probabilidade de sucesso (vacinação).
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula com nossos valores. Aqui,
crianças e queremos que
. Então:
Agora, vamos resolver para
:
Isso significa que a probabilidade de cada criança ser vacinada precisa ser de pelo menos 50,25% para que, em média, a meta de 2000 crianças vacinadas seja atingida.
Passo 4
Então, conseguimos ver que se a probabilidade individual de cada criança ser vacinada for de pelo menos 50,25%, a campanha, em média, alcançará a meta de vacinar 2000 crianças. Porém, é importante lembrar que a Esperança é uma média teórica. Na prática, fatores como distribuição irregular das vacinações podem influenciar o resultado final. Mas, em termos matemáticos, sim, a meta será atingida se
.
Resposta
A meta de vacinar 2000 crianças será atingida se a probabilidade de cada criança ser vacinada for de pelo menos 50,25%, ou seja,
.