Essa campanha de vacinação deve vacinar 2000 crianças em uma localidade com 3980 crianças. Usando como a probabilidade de uma criança ser vacinada e calculando a Esperança, é possível afirmar que essa meta será atingida? Discuta a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma campanha de vacinação que quer vacinar 2000 crianças num total de 3980 crianças na localidade. A gente vai usar como a probabilidade de uma criança ser vacinada. O que precisamos fazer é calcular a Esperança (ou valor esperado) pra ver se, em média, a campanha vai atingir a meta de vacinar 2000 crianças. Vamos precisar entender um pouco de probabilidade e como calcular a esperança de uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na variável aleatória que representa o número de crianças vacinadas. Cada criança tem uma probabilidade de ser vacinada, e como temos várias crianças, podemos modelar isso com uma distribuição binomial.
A Esperança (ou valor esperado) de uma distribuição binomial é dada por:
onde é o número total de ensaios (nesse caso, crianças) e é a probabilidade de sucesso (vacinação).

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com nossos valores. Aqui, crianças e queremos que . Então:
Agora, vamos resolver para :
Isso significa que a probabilidade de cada criança ser vacinada precisa ser de pelo menos 50,25% para que, em média, a meta de 2000 crianças vacinadas seja atingida.

Passo 4

Então, conseguimos ver que se a probabilidade individual de cada criança ser vacinada for de pelo menos 50,25%, a campanha, em média, alcançará a meta de vacinar 2000 crianças. Porém, é importante lembrar que a Esperança é uma média teórica. Na prática, fatores como distribuição irregular das vacinações podem influenciar o resultado final. Mas, em termos matemáticos, sim, a meta será atingida se .

Resposta

A meta de vacinar 2000 crianças será atingida se a probabilidade de cada criança ser vacinada for de pelo menos 50,25%, ou seja, .

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