Seja uma variável aleatória com distribuição Uniforme com parâmetros e . Calcule:
a) A função densidade de probabilidade na sua forma analítica;
b) A função acumulada na sua forma analítica;
c) Determine a média e a variância.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme entre e . O conteúdo que vamos usar aqui é de Distribuições de Probabilidade, especificamente a Distribuição Uniforme. Precisamos calcular a função densidade de probabilidade, a função acumulada, e a média e variância dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a função densidade de probabilidade (PDF) da Distribuição Uniforme. A ideia é que, para uma distribuição uniforme, todos os valores dentro do intervalo são igualmente prováveis. A fórmula geral da PDF é:
Passo 3
Aplicando os valores de e na fórmula acima, temos:
Então, a função densidade de probabilidade é constante igual a 1 no intervalo .
Passo 4
Agora vamos para a função acumulada (CDF), que nos mostra a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor . A fórmula geral da CDF para a Distribuição Uniforme é:
Passo 5
Substituindo e na fórmula da CDF:
Portanto, a função acumulada aumenta linearmente de 0 a 1 no intervalo .
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a média (esperança) e a variância da distribuição uniforme. As fórmulas para uma Distribuição Uniforme são: