Seja uma variável aleatória X com distribuição Uniforme com parâmetros a=-1 / 2 e b=1 / 2. Calcule:
a) A função densidade de probabilidade na sua forma analítica;
b) A função acumulada na sua forma analítica;
c) Determine a média e a variância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme entre e . O conteúdo que vamos usar aqui é de Distribuições de Probabilidade, especificamente a Distribuição Uniforme. Precisamos calcular a função densidade de probabilidade, a função acumulada, e a média e variância dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a função densidade de probabilidade (PDF) da Distribuição Uniforme. A ideia é que, para uma distribuição uniforme, todos os valores dentro do intervalo fX(x) = 1b - a, & se a <= x <= b 0, & caso contrário são igualmente prováveis. A fórmula geral da PDF é:
á

Passo 3

Aplicando os valores de fX(x) = 112 - (-12) = 11 = 1, & se -12 <= x <= 12 0, & caso contrário e na fórmula acima, temos:
á
Então, a função densidade de probabilidade é constante igual a 1 no intervalo .

Passo 4

Agora vamos para a função acumulada (CDF), que nos mostra a probabilidade de FX(x) = 0, & se x < a x - ab - a, & se a <= x <= b 1, & se x > b ser menor ou igual a um certo valor . A fórmula geral da CDF para a Distribuição Uniforme é:

Passo 5

Substituindo FX(x) = 0, & se x < -12 x - (-12)12 - (-12) = x + 121 = x + 12, & se -12 <= x <= 12 1, & se x > 12 e na fórmula da CDF:
Portanto, a função acumulada aumenta linearmente de 0 a 1 no intervalo .

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a média (esperança) e a variância da distribuição uniforme. As fórmulas para uma Distribuição Uniforme Média mu = a + b2 são:
Variância sigma^2 = (b - a)^212 é
â

Passo 7

Aplicando mu = -12 + 122 = 02 = 0 e sigma^2 = (12 - (-12))^212 = 1^212 = 112 :

Resposta

a) A função densidade de probabilidade é:
fX(x) = 1, & se -12 <= x <= 12 0, & caso contrário á
b) A função acumulada é:
FX(x) = 0, & se x < -12 x + 12, & se -12 <= x <= 12 1, & se x > 12
c) A média é e a variância é .

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