Seja uma variável aleatória com distribuição Uniforme com parâmetros e . Calcule:
a) A função densidade de probabilidade na sua forma analítica;
b) A função acumulada na sua forma analítica;
c) Determine a média e a variância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme entre e . O conteúdo que vamos usar aqui é de Distribuições de Probabilidade, especificamente a Distribuição Uniforme. Precisamos calcular a função densidade de probabilidade, a função acumulada, e a média e variância dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a função densidade de probabilidade (PDF) da Distribuição Uniforme. A ideia é que, para uma distribuição uniforme, todos os valores dentro do intervalo são igualmente prováveis. A fórmula geral da PDF é:
á

Passo 3

Aplicando os valores de e na fórmula acima, temos:
á
Então, a função densidade de probabilidade é constante igual a 1 no intervalo .

Passo 4

Agora vamos para a função acumulada (CDF), que nos mostra a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor . A fórmula geral da CDF para a Distribuição Uniforme é:

Passo 5

Substituindo e na fórmula da CDF:
Portanto, a função acumulada aumenta linearmente de 0 a 1 no intervalo .

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a média (esperança) e a variância da distribuição uniforme. As fórmulas para uma Distribuição Uniforme são:
é
â

Passo 7

Aplicando e :

Resposta

a) A função densidade de probabilidade é:
á
b) A função acumulada é:
c) A média é e a variância é .

Exercícios relacionados

Uma urna contém 30 bolas brancas, 20 bolas verdes e 10 bolas amarelas. Cinco bolas são retiradas ao acaso desta urna e com reposição. Seja o número de bolas amarelas retiradas. Determine:
a) a função de probabilidade de ;
b) calcule a probabilidade de se obter pelo menos 3 bolas serem amarelas;
c) calcule a probabilidade de se obter entre 2 e 4 bolas amarelas;
d) calcule a probabilidade de se obter exatamente 3 bolas serem amarelas, sabendo-se que uma das bolas retiradas foi branca
e) A esperança e a variância de .
Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianças, entre 294 e 297 sejam vacinadas.
Pelo histórico da secretaria de saúde pública de um determinado município, obteve-se a informação de que um indivíduo qualquer da sua população contrair gripe em no período de um ano é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro . Calcule a probabilidade de que um indivíduo qualquer nessa cidade contraia gripe:
a) No máximo uma vez em um ano.
b) Nenhuma vez no ano.
c) Exatamente 3 vezes em um ano.
d) Entre 3 e 5 vezes em um ano.
Segundo dados de uma rede local, ocorreram 45 falhas de serviço no último ano. Calcule:
a) Recalcule o parâmetro para se conhecer o número médio de falhas por semana.
b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma falha?
c) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas?
d) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de haver no máximo 1 falha?
e) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais falhas?