Calcule a probabilidade de obter exatamente 7 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a probabilidade de obter exatamente 7 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa. Isso está relacionado à probabilidade binomial, que usamos quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (cara ou coroa). Para resolver, vamos precisar da fórmula da probabilidade binomial e saber calcular combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela é dada por:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é a probabilidade de obter exatamente sucessos.
  • é a combinação de elementos tomados a (também escrita como ).
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.
  • é o número de sucessos desejados.

Passo 3

No nosso caso:
  • (10 lançamentos)
  • (queremos exatamente 7 caras)
  • (probabilidade de obter cara em um lançamento de moeda justa)
Vamos calcular cada parte da fórmula.

Passo 4

Primeiro, calculamos a combinação C(10, 7) = 10!7! times (10 - 7)! = 10!7! times 3! = 120 . Isso representa de quantas maneiras podemos escolher 7 lançamentos que serão caras dentre os 10.

Passo 5

Agora, vamos calcular p^k = 0.5^7 = 1128 e (1 - p)^n - k = 0.5^10 - 7 = 0.5^3 = 18 :

Passo 6

Multiplicando todos os valores na fórmula:
P(X = 7) = 120 times 1128 times 18 = 120 times 11024 = 1201024

Passo 7

Simplificando a fração:
1201024 = 0.1171875

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 7 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa é aproximadamente 0,117 ou 11,7%.

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