Em um grupo de 15 pessoas, cada uma tem probabilidade de 0,2 de conhecer uma técnica específica. Qual a probabilidade de que exatamente 3 pessoas conheçam essa técnica?

Passo 1

Então, a gente tem um grupo de 15 pessoas e cada uma delas tem 20% de chance (ou seja, probabilidade de 0,2) de conhecer uma técnica específica. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 3 dessas 15 pessoas saberem dessa técnica? Pra resolver isso, vamos usar um conceito da probabilidade chamado distribuição binomial. A distribuição binomial é útil quando a gente tem um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso). No nosso caso, cada pessoa pode ou conhecer (sucesso) ou não conhecer (fracasso) a técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula da distribuição binomial:
  • n é o número total de tentativas, que aqui é 15 pessoas.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, que é 0,2 (20%).
  • k é o número de sucessos que queremos, que é exatamente 3 pessoas.

Passo 3

A fórmula para calcular a probabilidade de k sucessos em n tentativas na distribuição binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos entre n tentativas.
  • é a probabilidade de ter exatamente k sucessos.
  • é a probabilidade de ter os outros n - k fracassos.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom153 = 15!3! times (15 - 3)! = 15 times 14 times 133 times 2 times 1 = 455 :

Passo 5

Agora, calculamos 0,2^3 = 0,2 times 0,2 times 0,2 = 0,008 :

Passo 6

Em seguida, calculamos (1 - 0,2)^15 - 3 = 0,8^12 approx 0,068719476736 :

Passo 7

Agora, juntamos tudo na fórmula:
P(3) = 455 times 0,008 times 0,068719476736
Fazendo as contas:
455 times 0,008 = 3,64
3,64 times 0,068719476736 approx 0,250

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 pessoas, em um grupo de 15, conhecerem a técnica específica é aproximadamente 25,0%.

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