Calcule as probabilidades abaixo e digite os valores encontrados:
r X sim N(2,5) P(-1,18

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a probabilidade de que a variável aleatória X, que segue uma distribuição normal com média 2 e variância 5 (ou seja, $ X \sim N(2, 5) $), esteja entre -1,18 e 2,98. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão e transformar nossos valores para padronizar a distribuição.

Passo 2

Primeiro, lembro que uma distribuição normal $ N(\mu, \sigma^2) $ pode ser padronizada para a distribuição normal padrão $ Z \sim N(0,1) $ usando a fórmula:
N(mu, sigma^2)
Aqui, $ \mu = 2 $ e $ \sigma = \sqrt{5} \approx 2,236 $. Vamos calcular os valores de $ Z $ correspondentes a -1,18 e 2,98.

Passo 3

Calculando para $ X = -1,18 $:
X = -1,18
E para $ X = 2,98 $:
Z1 = -1,18 - 22,236 = -3,182,236 approx -1,42

Passo 4

Agora, queremos encontrar $ P(-1,18 < X < 2,98) $, que é equivalente a $ P(-1,42 < Z < 0,44) $. Isso pode ser encontrado subtraindo a probabilidade de $ Z < -1,42 $ da probabilidade de $ Z < 0,44 $.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
  • $ P(Z < 0,44) $ corresponde a aproximadamente 0,6700
  • $ P(Z < -1,42) $ corresponde a aproximadamente 0,0778

Passo 6

Agora, subtraímos essas probabilidades:
P(-1,42 < Z < 0,44) = P(Z < 0,44) - P(Z < -1,42) = 0,6700 - 0,0778 = 0,5922

Resposta

A probabilidade de $ -1,18 < X < 2,98 $ é aproximadamente 0,5922 ou 59,22%.

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