Sabendo que X sim N(2,1), ligue corretamente as probabilidades correspondentes:
|lll| hline $P(23,2)$ & $P(Z>0,46)$ & 0,61546 $P(0,461,2)$ & 0,34134 $P(X>2,46)$ & $P(2 0,32276
0,61546
0,02140
0,34134
0,11507

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz que a variável aleatória $ X $ segue uma distribuição normal com média 2 e variância 1, ou seja, $ X \sim N(2, 1) $. O que a gente precisa fazer aqui é ligar as probabilidades de diferentes intervalos de $ X $ com as correspondentes probabilidades da variável padronizada $ Z $, que segue a distribuição normal padrão $ N(0, 1) $. Para isso, vamos usar a padronização da variável normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como padronizar a variável $ X $. A fórmula para passar de $ X $ para $ Z $ é:
X
Onde:
  • $ \mu $ é a média da distribuição de $ X $ (no caso, 2).
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da distribuição de $ X $ (como a variância é 1, o desvio padrão também é 1).
Então, para $ X \sim N(2, 1) $, a fórmula fica:
X

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa padronização às probabilidades fornecidas para $ X $ e ver como elas se relacionam com as probabilidades de $ Z $.
  1. Probabilidade $ \mathrm{P}(2 < X < 3) $:
    • Vamos padronizar os limites: X
    • Então, $ \mathrm{P}(2 < X < 3) = \mathrm{P}(0 < Z < 1) $.
  2. Probabilidade $ \mathrm{P}(X > 3,2) $:
    • Padronizando: Z
    • Então, $ \mathrm{P}(X > 3,2) = \mathrm{P}(Z > 1,2) $.
  3. Probabilidade $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) $:
    • Padronizando: P(2 < X < 3)
    • Então, $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) = \mathrm{P}(-1,54 < Z < 0,46) $.
  4. Probabilidade $ \mathrm{P}(4 < X < 5) $:
    • Padronizando: Z1 = 2 - 2 = 0 e Z2 = 3 - 2 = 1
    • Então, $ \mathrm{P}(4 < X < 5) = \mathrm{P}(2 < Z < 3) $.
  5. Probabilidade $ \mathrm{P}(X > 2,46) $:
    • Padronizando: P(2 < X < 3) = P(0 < Z < 1)
    • Então, $ \mathrm{P}(X > 2,46) = \mathrm{P}(Z > 0,46) $.

Passo 4

Agora que padronizamos todas as probabilidades, vamos ligar cada uma delas com os valores fornecidos na tabela:
  • $ \mathrm{P}(2 < X < 3) = \mathrm{P}(0 < Z < 1) $ está associado a 0,34134.
  • $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) = \mathrm{P}(-1,54 < Z < 0,46) $ está associado a 0,32276.
  • $ \mathrm{P}(X > 3,2) = \mathrm{P}(Z > 1,2) $ está associado a 0,11507.
  • $ \mathrm{P}(4 < X < 5) = \mathrm{P}(2 < Z < 3) $ está associado a 0,02140.
  • $ \mathrm{P}(X > 2,46) = \mathrm{P}(Z > 0,46) $ está associado a 0,61546.

Resposta

A correspondência correta das probabilidades é:
  • $ \mathrm{P}(2 < X < 3) $ corresponde a $ \mathrm{P}(0 < Z < 1) $ com probabilidade 0,34134.
  • $ \mathrm{P}(-1,54 < Z < 0,46) $ corresponde a $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) $ com probabilidade 0,32276.
  • $ \mathrm{P}(Z > 1,2) $ corresponde a $ \mathrm{P}(X > 3,2) $ com probabilidade 0,11507.
  • $ \mathrm{P}(2 < Z < 3) $ corresponde a $ \mathrm{P}(4 < X < 5) $ com probabilidade 0,02140.
  • $ \mathrm{P}(Z > 0,46) $ corresponde a $ \mathrm{P}(X > 2,46) $ com probabilidade 0,61546.

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