Sabendo que
, ligue corretamente as probabilidades correspondentes:
0,32276
0,61546
0,02140
0,34134
0,11507
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0,32276 |
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0,61546 |
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0,02140 |
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0,34134 |
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0,11507 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz que a variável aleatória $ X $ segue uma distribuição normal com média 2 e variância 1, ou seja, $ X \sim N(2, 1) $. O que a gente precisa fazer aqui é ligar as probabilidades de diferentes intervalos de $ X $ com as correspondentes probabilidades da variável padronizada $ Z $, que segue a distribuição normal padrão $ N(0, 1) $. Para isso, vamos usar a padronização da variável normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como padronizar a variável $ X $. A fórmula para passar de $ X $ para $ Z $ é:
Onde:
- $ \mu $ é a média da distribuição de $ X $ (no caso, 2).
- $ \sigma $ é o desvio padrão da distribuição de $ X $ (como a variância é 1, o desvio padrão também é 1).
Então, para $ X \sim N(2, 1) $, a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa padronização às probabilidades fornecidas para $ X $ e ver como elas se relacionam com as probabilidades de $ Z $.
-
Probabilidade $ \mathrm{P}(2 < X < 3) $:
- Vamos padronizar os limites:
- Então, $ \mathrm{P}(2 < X < 3) = \mathrm{P}(0 < Z < 1) $.
- Vamos padronizar os limites:
-
Probabilidade $ \mathrm{P}(X > 3,2) $:
- Padronizando:
- Então, $ \mathrm{P}(X > 3,2) = \mathrm{P}(Z > 1,2) $.
- Padronizando:
-
Probabilidade $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) $:
- Padronizando:
- Então, $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) = \mathrm{P}(-1,54 < Z < 0,46) $.
- Padronizando:
-
Probabilidade $ \mathrm{P}(4 < X < 5) $:
- Padronizando:
- Então, $ \mathrm{P}(4 < X < 5) = \mathrm{P}(2 < Z < 3) $.
- Padronizando:
-
Probabilidade $ \mathrm{P}(X > 2,46) $:
- Padronizando:
- Então, $ \mathrm{P}(X > 2,46) = \mathrm{P}(Z > 0,46) $.
- Padronizando:
Passo 4
Agora que padronizamos todas as probabilidades, vamos ligar cada uma delas com os valores fornecidos na tabela:
- $ \mathrm{P}(2 < X < 3) = \mathrm{P}(0 < Z < 1) $ está associado a 0,34134.
- $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) = \mathrm{P}(-1,54 < Z < 0,46) $ está associado a 0,32276.
- $ \mathrm{P}(X > 3,2) = \mathrm{P}(Z > 1,2) $ está associado a 0,11507.
- $ \mathrm{P}(4 < X < 5) = \mathrm{P}(2 < Z < 3) $ está associado a 0,02140.
- $ \mathrm{P}(X > 2,46) = \mathrm{P}(Z > 0,46) $ está associado a 0,61546.
Resposta
A correspondência correta das probabilidades é:
- $ \mathrm{P}(2 < X < 3) $ corresponde a $ \mathrm{P}(0 < Z < 1) $ com probabilidade 0,34134.
- $ \mathrm{P}(-1,54 < Z < 0,46) $ corresponde a $ \mathrm{P}(0,46 < X < 2,46) $ com probabilidade 0,32276.
- $ \mathrm{P}(Z > 1,2) $ corresponde a $ \mathrm{P}(X > 3,2) $ com probabilidade 0,11507.
- $ \mathrm{P}(2 < Z < 3) $ corresponde a $ \mathrm{P}(4 < X < 5) $ com probabilidade 0,02140.
- $ \mathrm{P}(Z > 0,46) $ corresponde a $ \mathrm{P}(X > 2,46) $ com probabilidade 0,61546.