Calcule as probabilidades abaixo e digite os valores encontrados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal, denotada por $ \mathrm{N}(2,5) $. O que a questão pede é para calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 1,18 e 2,98, ou seja, $ \mathrm{P}(1,18 \leq \mathrm{X} \leq 2,98) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma distribuição normal $ \mathrm{N}(\mu, \sigma^2) $. Aqui, $ \mu = 2 $ é a média da distribuição e $ \sigma^2 = 5 $ é a variância. A variância é o quadrado do desvio padrão ($ \sigma $), então $ \sigma = \sqrt{5} $.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade pedida, a gente vai transformar nossa variável $ X $ em uma variável padrão $ Z $, que segue a distribuição normal padrão $ \mathrm{N}(0,1) $. A transformação é feita pela fórmula:
Isso ajuda a gente a usar as tabelas da distribuição normal padrão para encontrar probabilidades.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para os valores limites de $ X $:
Para $ X = 1,18 $:
Para $ X = 2,98 $:
Passo 5
Agora, usamos uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a $ Z_1 $ e $ Z_2 $.
Para $ Z_1 = -0,3667 $, a probabilidade acumulada até esse valor é aproximadamente 0,3577.
Para $ Z_2 = 0,4385 $, a probabilidade acumulada até esse valor é aproximadamente 0,6691.
Passo 6
A probabilidade que a gente quer, $ \mathrm{P}(1,18 \leq \mathrm{X} \leq 2,98) $, é a diferença entre as probabilidades acumuladas nos dois pontos:
Resposta
A probabilidade $ \mathrm{P}(1,18 \leq \mathrm{X} \leq 2,98) $ é aproximadamente 0,3114 ou 31,14%.