Verifique se o vetor p(t)=t^3-2 t pertence ao subespaço de P3 gerado por t^3-1, t^2+1, t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o vetor pertence ao subespaço de gerado pelos polinômios . Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e combinações lineares. O que a gente precisa fazer é ver se dá pra escrever como uma combinação linear desses três polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Isso significa que queremos encontrar coeficientes p(t) = a(t^3 - 1) + b(t^2 + 1) + c t , e tais que:
Ou seja, queremos ver se conseguimos expressar usando esses três polinômios multiplicados por alguns números , e .

Passo 3

Vamos expandir a equação:
t^3 - 2t = a t^3 - a + b t^2 + b + c t
Agora, vamos organizar os termos em ordem dos graus de t^3 - 2t = a t^3 + b t^2 + c t + (-a + b) :

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Coeficiente de t^3: & 1 = a Coeficiente de t^2: & 0 = b Coeficiente de t: & -2 = c Termo constante: & 0 = -a + b

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
  4. Verificando a quarta equação:
Essa última igualdade é impossível, ou seja, não dá para satisfazer todas as equações ao mesmo tempo.

Resposta

Como não encontramos uma solução que satisfaça todas as equações, o vetor não pertence ao subespaço de gerado por .

Exercícios relacionados