Verifique se o vetor pertence ao subespaço de gerado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o vetor pertence ao subespaço de gerado pelos polinômios . Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e combinações lineares. O que a gente precisa fazer é ver se dá pra escrever como uma combinação linear desses três polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Isso significa que queremos encontrar coeficientes , e tais que:
Ou seja, queremos ver se conseguimos expressar usando esses três polinômios multiplicados por alguns números , e .
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Agora, vamos organizar os termos em ordem dos graus de :
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Verificando a quarta equação: →
Essa última igualdade é impossível, ou seja, não dá para satisfazer todas as equações ao mesmo tempo.
Resposta
Como não encontramos uma solução que satisfaça todas as equações, o vetor não pertence ao subespaço de gerado por .