Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais, onde
. Nosso objetivo aqui é verificar se o subconjunto
é realmente um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os três critérios principais para verificar se um subconjunto é um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O elemento neutro do espaço vetorial deve estar no subconjunto.
- Fechado sob adição: Se dois vetores estão no subconjunto, a soma deles também deve estar.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no subconjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar.
Passo 3
Vamos verificar o primeiro critério: se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio zero, que é
para todo
. Vamos ver se ele satisfaz a condição de
:
Então,
é verdadeiro para o vetor zero, o que significa que o vetor zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Suponha que temos dois polinômios
e
em
. Isso significa que:
Queremos saber se
também está em
, ou seja, se:
Calculando:
Então, a condição é satisfeita, e
é fechado sob adição.
Passo 5
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por um escalar. Seja
um número real qualquer e
um polinômio em
, então:
Queremos ver se
também está em
:
Portanto, a condição
também é satisfeita para
, o que significa que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz os três critérios de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço de
.