Seja V=Pn(R), n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=p(x) in V: p(0)=2 p(1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais, onde . Nosso objetivo aqui é verificar se o subconjunto é realmente um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os três critérios principais para verificar se um subconjunto é um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O elemento neutro do espaço vetorial deve estar no subconjunto.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no subconjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no subconjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar.

Passo 3

Vamos verificar o primeiro critério: se o vetor zero está em p(0) = 0 . O vetor zero em 2p(1) = 2 times 0 = 0 é o polinômio zero, que é para todo . Vamos ver se ele satisfaz a condição de :
Então, é verdadeiro para o vetor zero, o que significa que o vetor zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se p(0) = 2p(1) é fechado sob adição. Suponha que temos dois polinômios q(0) = 2q(1) e (p + q)(0) = 2(p + q)(1) em p(0) + q(0) = 2p(1) + 2q(1) . Isso significa que:
(p + q)(0) = 2(p(1) + q(1)) = 2(p + q)(1)
Queremos saber se também está em , ou seja, se:
Calculando:
Então, a condição é satisfeita, e é fechado sob adição.

Passo 5

Por último, vamos verificar se p(0) = 2p(1) é fechado sob multiplicação por um escalar. Seja (c cdot p)(0) = c cdot p(0) = c cdot 2p(1) = 2(c cdot p(1)) = 2(c cdot p)(1) um número real qualquer e um polinômio em , então:
Queremos ver se também está em :
Portanto, a condição também é satisfeita para , o que significa que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz os três critérios de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

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