Calcule
r) integral tg(2 t) sec ^3(2 t) d t

Passo 1

Olhando para o exercício, precisamos calcular a integral de tg(2 t) sec^3(2 t) em relação a t. Vamos usar técnicas de cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante: a derivada de sec(x) é sec(x)tg(x). Essa informação é útil porque podemos fazer uma substituição que simplifica a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = sec(2 t). Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a t:
dudt = 2 sec(2 t) tg(2 t)
Então, podemos rearranjar para encontrar dt:
du = 2 sec(2 t) tg(2 t) , dt dfracdu2 = sec(2 t) tg(2 t) , dt

Passo 4

Agora, observe que na integral original temos tg(2 t) sec^3(2 t) , dt. Podemos reescrever isso como:
tg(2 t) sec^3(2 t) , dt = sec^2(2 t) cdot sec(2 t) tg(2 t) , dt
Substituindo u e du na integral:
integral tg(2 t) sec^3(2 t) , dt = integral sec^2(2 t) cdot dfracdu2 = dfrac12 integral sec^2(2 t) , du

Passo 5

Lembrando que u = sec(2 t), temos que sec^2(2 t) = u^2. Então, a integral fica:
dfrac12 integral u^2 , du

Passo 6

Agora, integramos u^2 em relação a u:
dfrac12 cdot dfracu^33 + C = dfracu^36 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para sec(2 t):
dfracsec^3(2 t)6 + C

Resposta

integral tg(2 t) sec^3(2 t) , dt = dfracsec^3(2 t)6 + C

Exercícios relacionados

Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
j) integral cos ^1 / 5(x) sen(x) d x
Calcule
e) integral x^2+x-23 x^3-x^2+3 x-1 d x
Determinar a evoluta da hélice circular
alpha(t) = (acost, asent, b*t), para todo t em R, a > 0, b > 0
Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
b) integral0^2 s+1raiz4-s^2 d s