Determinar a evoluta da hélice circular
alpha(t) = (acost, asent, b*t), para todo t em R, a > 0, b > 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma hélice circular, que é basicamente uma curva que dá aquela volta e sobe ao mesmo tempo, como uma escada rolante ou um parafuso. A tarefa aqui é encontrar a evoluta dessa hélice. A evoluta é o conjunto de todos os centros de curvatura da curva original. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial e geometria diferencial, mas não se preocupa que a gente vai passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da hélice circular dada no exercício:
Aqui, controla o raio da hélice e a sua inclinação ou a rapidez com que ela sobe.

Passo 3

Para achar a evoluta, precisamos encontrar a curva normal a cada ponto da hélice. Isso envolve calcular o vetor normal e a curvatura da hélice.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da hélice em relação a , que nos dá o vetor velocidade:
Esse vetor nos mostra a direção em que a hélice está se movendo em cada ponto.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é o vetor aceleração:
Esse vetor nos ajuda a entender como a direção da hélice está mudando, ou seja, a curvatura.

Passo 6

A curvatura da hélice é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando isso, obtemos:
Agora, o módulo desse vetor é:
E o módulo de é:
Então, a curvatura é:

Passo 7

O vetor normal unitário é dado por:
Esse vetor aponta para o centro de curvatura a partir do ponto na hélice.

Passo 8

A evoluta é obtida deslocando cada ponto da hélice na direção do vetor normal por uma distância igual ao raio de curvatura :
Então, a evoluta é:
Simplificando:

Resposta

A evoluta da hélice circular é dada por:

Exercícios relacionados

Calcule
r) integral tg(2 t) sec ^3(2 t) d t
Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
j) integral cos ^1 / 5(x) sen(x) d x
Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
b) integral0^2 s+1raiz4-s^2 d s
Para um campo vetorial diferenciável
F: U subset R^3 longrightarrow R^3, F(x, y, z)=F1(x, y, z) i+F2(x, y, z) j+F3(x, y, z) k,
define-se o rotacional de F e denota-se por
rotF, curlF ou nabla times F ,
ao campo vetorial associado dado por
(nabla times F)(x, y, z)=|ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial y F1 & F2 & F3 |
(a) Calcular nabla times overrightarrownabla f)(x, y, z),
onde nabla f é o campo gradiente de uma função escalar f(x, y, z) de classe C^2.