Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma hélice circular, que é basicamente uma curva que dá aquela volta e sobe ao mesmo tempo, como uma escada rolante ou um parafuso. A tarefa aqui é encontrar a evoluta dessa hélice. A evoluta é o conjunto de todos os centros de curvatura da curva original. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial e geometria diferencial, mas não se preocupa que a gente vai passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da hélice circular dada no exercício:
Aqui, controla o raio da hélice e a sua inclinação ou a rapidez com que ela sobe.
Passo 3
Para achar a evoluta, precisamos encontrar a curva normal a cada ponto da hélice. Isso envolve calcular o vetor normal e a curvatura da hélice.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da hélice em relação a , que nos dá o vetor velocidade:
Esse vetor nos mostra a direção em que a hélice está se movendo em cada ponto.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é o vetor aceleração:
Esse vetor nos ajuda a entender como a direção da hélice está mudando, ou seja, a curvatura.
Passo 6
A curvatura da hélice é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando isso, obtemos:
Agora, o módulo desse vetor é:
E o módulo de é:
Então, a curvatura é:
Passo 7
O vetor normal unitário é dado por:
Esse vetor aponta para o centro de curvatura a partir do ponto na hélice.
Passo 8
A evoluta é obtida deslocando cada ponto da hélice na direção do vetor normal por uma distância igual ao raio de curvatura :