Calcule
e) integral x^2+x-23 x^3-x^2+3 x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas decompondo-as em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . A ideia é encontrar raízes desse polinômio. Testando possíveis raízes racionais, descobrimos que é uma raiz, pois substituindo na equação, ela zera.

Passo 3

Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar o denominador como 3x^3 - x^2 + 3x - 1 = 3(x - 13)(x^2 + 1) . Multiplicando e comparando os coeficientes, determinamos que , e . Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral usando essa fatoração:
integral x^2 + x - 23(x - 13)(x^2 + 1) , dx
Simplificando, temos:
13 integral x^2 + x - 2(x - 13)(x^2 + 1) , dx

Passo 5

Vamos decompor a fração em frações parciais:
x^2 + x - 2(x - 13)(x^2 + 1) = Ax - 13 + Bx + Cx^2 + 1
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum x^2 + x - 2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 13) , obtemos:

Passo 6

Expandindo e agrupando os termos:
x^2 + x - 2 = A x^2 + A + Bx^2 - B3x + Cx - C3
Agrupando os coeficientes:
x^2 + x - 2 = (A + B)x^2 + (-B3 + C)x + (A - C3)

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 1 -B3 + C = 1 A - C3 = -2
Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Da segunda: .
  3. Substituindo na terceira: .
Resolvendo, encontramos , e .

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição das frações parciais:
x^2 + x - 2(x - 13)(x^2 + 1) = -75x - 13 + 125x + 95x^2 + 1
Simplificando:
-75 cdot 1x - 13 + 125 cdot xx^2 + 1 + 95 cdot 1x^2 + 1

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^2 + x - 23x^3 - x^2 + 3x - 1 , dx = -75 integral 1x - 13 , dx + 125 integral xx^2 + 1 , dx + 95 integral 1x^2 + 1 , dx

Passo 10

Calculando as integrais:

Passo 11

Juntando todas as partes e simplificando os coeficientes:
-75 ln|x - 13| + 65 ln(x^2 + 1) + 95 arctan(x) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^2+x-23 x^3-x^2+3 x-1 , dx = -75 ln|x - 13| + 65 ln(x^2 + 1) + 95 arctan(x) + C

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Calcule
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