Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral de uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas decompondo-as em termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . A ideia é encontrar raízes desse polinômio. Testando possíveis raízes racionais, descobrimos que é uma raiz, pois substituindo na equação, ela zera.
Passo 3
Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar o denominador como . Multiplicando e comparando os coeficientes, determinamos que , e . Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral usando essa fatoração:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , obtemos:
Passo 6
Expandindo e agrupando os termos:
Agrupando os coeficientes:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação: .
Da segunda: .
Substituindo na terceira: .
Resolvendo, encontramos , e .
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição das frações parciais: