Calcule e mostre que esta quantidade é constante para o movimento circular uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor velocidade em um movimento circular uniforme. A ideia aqui está ligada à cinemática vetorial e movimento circular uniforme. Para resolver, vamos precisar entender como são definidos esses vetores e como calcular o produto vetorial entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o vetor posição para um movimento circular uniforme. Imagine um objeto se movendo em um círculo de raio com velocidade constante. Podemos expressar em coordenadas cartesianas assim:
Aqui, é a velocidade angular, e e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade. Sabemos que a velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Calculando a derivada:
Passo 4
Com os vetores e definidos, vamos agora calcular o produto vetorial. Lembrando que para vetores no plano xy, o produto vetorial resulta em um vetor na direção z:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 5
Observando o resultado, vemos que o produto vetorial é igual a , que é uma constante, já que e são constantes no movimento circular uniforme. Isso significa que essa quantidade não depende do tempo , ou seja, é uma constante ao longo do movimento.
Resposta
Portanto, no movimento circular uniforme, o produto vetorial é constante e igual a .