Calcule e mostre que esta quantidade é constante para o movimento circular uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor velocidade em um movimento circular uniforme. A ideia aqui está ligada à cinemática vetorial e movimento circular uniforme. Para resolver, vamos precisar entender como são definidos esses vetores e como calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o vetor posição para um movimento circular uniforme. Imagine um objeto se movendo em um círculo de raio com velocidade constante. Podemos expressar em coordenadas cartesianas assim:
Aqui, é a velocidade angular, e e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade . Sabemos que a velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Calculando a derivada:

Passo 4

Com os vetores e definidos, vamos agora calcular o produto vetorial . Lembrando que para vetores no plano xy, o produto vetorial resulta em um vetor na direção z:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 5

Observando o resultado, vemos que o produto vetorial é igual a , que é uma constante, já que e são constantes no movimento circular uniforme. Isso significa que essa quantidade não depende do tempo , ou seja, é uma constante ao longo do movimento.

Resposta

Portanto, no movimento circular uniforme, o produto vetorial é constante e igual a .

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