Calcule os rotacionais das seguintes funções vetoriais:
v=x^2 i+3 x z^2 j-2 x z k

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de calcular o rotacional da função vetorial v = x^2 i + 3x z^2 j - 2x z k. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional (ou curl) de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de uma função vetorial v = P i + Q j + R k. A fórmula do rotacional é dada por:
rot , v = nabla times v = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k

Passo 3

Vamos identificar as componentes P, Q e R da nossa função vetorial:
P = x^2, Q = 3x z^2, R = -2x z

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. partial Rpartial y: Como R = -2x z, e não depende de y, teremos partial Rpartial y = 0.
  2. partial Qpartial z: Q = 3x z^2, derivando em relação a z, temos partial Qpartial z = 6x z.
  3. partial Ppartial z: P = x^2, que não depende de z, então partial Ppartial z = 0.
  4. partial Rpartial x: R = -2x z, derivando em relação a x, temos partial Rpartial x = -2z.
  5. partial Qpartial x: Q = 3x z^2, derivando em relação a x, temos partial Qpartial x = 3 z^2.
  6. partial Ppartial y: P = x^2, que não depende de y, então partial Ppartial y = 0.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
rot , v = ( 0 - 6x z ) i + ( 0 - (-2z) ) j + ( 3 z^2 - 0 ) k

Passo 6

Simplificando cada componente:
  1. Componente i: 0 - 6x z = -6x z
  2. Componente j: 0 - (-2z) = 2z
  3. Componente k: 3 z^2 - 0 = 3 z^2

Resposta

Portanto, o rotacional da função vetorial é:
rot , v = -6x z i + 2z j + 3 z^2 k

Exercícios relacionados