Calcule os rotacionais das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o problema de calcular o rotacional da função vetorial
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional (ou curl) de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de uma função vetorial
. A fórmula do rotacional é dada por:
Passo 3
Vamos identificar as componentes
,
e
da nossa função vetorial:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
-
: Como , e não depende de , teremos . -
: , derivando em relação a , temos . -
: , que não depende de , então . -
: , derivando em relação a , temos . -
: , derivando em relação a , temos . -
: , que não depende de , então .
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Passo 6
Simplificando cada componente:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Resposta
Portanto, o rotacional da função vetorial é: