Seja r o vetor posição e r o seu módulo. Mostre que:
nabla r=rr, nabla cdot r=3, nabla times r=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos três igualdades envolvendo o vetor posição r e seu módulo r. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente os operadores gradiente ( nabla), divergente ( nabla cdot) e rotacional ( nabla times). Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esses operadores em funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição r e seu módulo r. No espaço tridimensional, o vetor posição é dado por:
r = x,i + y,j + z,k
E seu módulo é:
r = |r| = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente do módulo r, ou seja, nabla r. O operador gradiente aplicado a uma função escalar f é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada coordenada. Então:
nabla r = ( partial rpartial x )i + ( partial rpartial y )j + ( partial rpartial z )k
Calculando as derivadas:
partial rpartial x = xr, partial rpartial y = yr, partial rpartial z = zr
Então:
nabla r = xri + yrj + zrk = rr

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergente do vetor posição r, ou seja, nabla cdot r. A divergente de um vetor A = Axi + Ayj + Azk é dada por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Aplicando isso ao vetor posição r:
nabla cdot r = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Por último, vamos calcular o rotacional do vetor posição r, ou seja, nabla times r. O rotacional de um vetor A = Axi + Ayj + Azk é dado por:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z )i + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x )j + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y )k
Aplicando isso ao vetor posição r:
nabla times r = ( partial zpartial y - partial ypartial z )i + ( partial xpartial z - partial zpartial x )j + ( partial ypartial x - partial xpartial y )k = 0i + 0j + 0k = 0

Resposta

Então, mostramos que:
nabla r = rr, nabla cdot r = 3, nabla times r = 0

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