Seja r o vetor posição e r o seu módulo. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos três igualdades envolvendo o vetor posição
e seu módulo
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente os operadores gradiente (
), divergente (
) e rotacional (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esses operadores em funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição
e seu módulo
. No espaço tridimensional, o vetor posição é dado por:
E seu módulo é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente do módulo
, ou seja,
. O operador gradiente aplicado a uma função escalar
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada coordenada. Então:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergente do vetor posição
, ou seja,
. A divergente de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao vetor posição
:
Passo 5
Por último, vamos calcular o rotacional do vetor posição
, ou seja,
. O rotacional de um vetor
é dado por:
Aplicando isso ao vetor posição
:
Resposta
Então, mostramos que: