Calcule os rotacionais das seguintes funções vetoriais:
v=x y i+2 y z j+3 z x k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional (também conhecido como curl) da função vetorial v=x y i+2 y z j+3 z x k. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente a operação de rotacional. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de uma função vetorial. O rotacional de v = vx i + vy j + vz k é dado por:
nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z ) i + ( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) j + ( partial vypartial x - partial vxpartial y ) k
Isso significa que vamos calcular essas três componentes uma por uma.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da nossa função vetorial v:
  • vx = x y
  • vy = 2 y z
  • vz = 3 z x
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária.

Passo 4

Primeira componente do rotacional ( i):
partial vzpartial y = partial (3 z x)partial y = 0 (pois não há y em vz) ãá
partial vypartial z = partial (2 y z)partial z = 2 y
Então:
( partial vzpartial y - partial vypartial z ) = 0 - 2 y = -2 y

Passo 5

Segunda componente do rotacional ( j):
partial vxpartial z = partial (x y)partial z = 0 (pois não há z em vx) ãá
partial vzpartial x = partial (3 z x)partial x = 3 z
Então:
( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) = 0 - 3 z = -3 z

Passo 6

Terceira componente do rotacional ( k):
partial vypartial x = partial (2 y z)partial x = 0 (pois não há x em vy) ãá
partial vxpartial y = partial (x y)partial y = x
Então:
( partial vypartial x - partial vxpartial y ) = 0 - x = -x

Resposta

O rotacional da função vetorial é:
nabla times v = -2 y i - 3 z j - x k

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