Demonstre que os vetores
A=2 i-j+k B=i-3 j-5 k C=3 i-4 j-4 k
formam os lados de um triângulo reto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores:
A=2 i-j+k B=i-3 j-5 k C=3 i-4 j-4 k
A questão pede para mostrar que esses vetores formam os lados de um triângulo reto. Para isso, vamos usar o conceito de magnitude dos vetores e o Teorema de Pitágoras que relaciona os lados de um triângulo reto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para três vetores formarem os lados de um triângulo, a soma de dois vetores deve ser igual ao terceiro. Mas como queremos que seja um triângulo reto, precisamos verificar se os comprimentos desses vetores obedecem o Teorema de Pitágoras.

Passo 3

Vamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor V = vx i + vy j + vz k é:
|V| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Calculando cada um:
  1. Magnitude de A:
|A| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
  1. Magnitude de B:
|B| = raiz1^2 + (-3)^2 + (-5)^2 = raiz1 + 9 + 25 = raiz35
  1. Magnitude de C:
|C| = raiz3^2 + (-4)^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 + 16 = raiz41

Passo 4

Agora que temos as magnitudes, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para verificar se algum dos vetores satisfaz:
(hipotenusa)^2 = soma dos quadrados dos catetos
Vamos testar todas as combinações:
  1. Assumindo C como hipotenusa:
|C|^2 = 41 |A|^2 + |B|^2 = 6 + 35 = 41 41 = 41 checkmark
Como a igualdade se confirmou, C é a hipotenusa, e A e B são os catetos.

Resposta

Os vetores A, B e C formam os lados de um triângulo reto, sendo C a hipotenusa.

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