Elevando ao quadrado ambos os lados da equação
e interpretando geometricamente o resultado, prove a lei dos co-senos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para elevar ao quadrado ambos os lados da equação
e, a partir disso, provar a lei dos cossenos de forma geométrica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra vetorial, especialmente operações como soma de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação. Quando a gente fala em elevar ao quadrado um vetor, na verdade estamos falando em calcular o produto escalar dele consigo mesmo. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Isso significa que o quadrado da magnitude de
é igual ao quadrado da magnitude de
menos duas vezes o produto escalar de
e
mais o quadrado da magnitude de
.
Passo 4
Sabemos que o produto escalar de dois vetores pode ser expresso em termos de suas magnitudes e o cosseno do ângulo entre eles:
onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 5
Vamos substituir essa expressão na equação que obtivemos:
Aqui,
,
e
representam as magnitudes dos vetores
,
e
, respectivamente.
Passo 6
Se pensarmos em um triângulo onde os vetores
,
e
correspondem aos lados, podemos identificar
como o lado oposto ao ângulo
. Assim, a equação que chegamos é exatamente a lei dos cossenos:
Resposta
Portanto, provamos que
, que é a lei dos cossenos.