Uma distribuição de carga com simetria planar possui densidade superficial de carga variável
. Determine o campo elétrico em um ponto distante d do plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma distribuição de carga que tem simetria planar, ou seja, é igual em todas as direções no plano. A densidade superficial de carga varia conforme
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em um ponto que está a uma distância
do plano carregado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre Lei de Gauss e como aplicá-la a distribuições de carga com simetria planar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade superficial de carga,
. Ela nos diz quanta carga está presente por unidade de área no plano. No nosso caso, essa densidade varia linearmente com a posição
no plano, ou seja, a quantidade de carga muda conforme nos movemos no plano.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Campo Elétrico. O campo elétrico,
, é uma medida da força que uma carga elétrica exerce sobre outra. Para distribuições com simetria planar, como a nossa, o campo elétrico em um ponto distante do plano depende apenas da distância
a partir do plano.
Passo 4
A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para calcular o campo elétrico. Ela relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
onde
é o fluxo elétrico total através da superfície fechada,
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Para aplicar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana apropriada. No caso de simetria planar, uma boa escolha é um “cilindro” gaussiano (na verdade, duas placas) que se estende perpendicularmente ao plano carregado, com uma face acima e outra abaixo do plano. Devido à simetria, o campo elétrico será perpendicular às superfícies e terá o mesmo valor em ambos os lados do plano.
Passo 6
Calculamos o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Como o campo elétrico é perpendicular às faces do cilindro e paralelo às laterais, o fluxo pelas laterais é zero. Então, o fluxo total é:
onde
é a área de cada face do cilindro e
é o campo elétrico que queremos encontrar.
Passo 7
Agora, calculamos a carga total dentro da superfície gaussiana. A carga dentro do cilindro é a densidade superficial de carga multiplicada pela área:
Substituindo na Lei de Gauss:
Passo 8
Resolvendo para
:
Esse é o campo elétrico em um ponto a uma distância
do plano, considerando a variação da densidade superficial de carga.
Resposta
O campo elétrico no ponto distante
do plano é dado por: