Uma distribuição de carga com simetria planar possui densidade superficial de carga variável sigma(x)=sigma0 x. Determine o campo elétrico em um ponto distante d do plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma distribuição de carga que tem simetria planar, ou seja, é igual em todas as direções no plano. A densidade superficial de carga varia conforme sigma(x) = sigma0 x. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico em um ponto que está a uma distância d do plano carregado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre Lei de Gauss e como aplicá-la a distribuições de carga com simetria planar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade superficial de carga, sigma(x). Ela nos diz quanta carga está presente por unidade de área no plano. No nosso caso, essa densidade varia linearmente com a posição x no plano, ou seja, a quantidade de carga muda conforme nos movemos no plano.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Campo Elétrico. O campo elétrico, E, é uma medida da força que uma carga elétrica exerce sobre outra. Para distribuições com simetria planar, como a nossa, o campo elétrico em um ponto distante do plano depende apenas da distância d a partir do plano.

Passo 4

A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para calcular o campo elétrico. Ela relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qinternavarepsilon0
onde oint E cdot dA é o fluxo elétrico total através da superfície fechada, Qinterna é a carga total dentro da superfície e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Para aplicar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana apropriada. No caso de simetria planar, uma boa escolha é um “cilindro” gaussiano (na verdade, duas placas) que se estende perpendicularmente ao plano carregado, com uma face acima e outra abaixo do plano. Devido à simetria, o campo elétrico será perpendicular às superfícies e terá o mesmo valor em ambos os lados do plano.

Passo 6

Calculamos o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Como o campo elétrico é perpendicular às faces do cilindro e paralelo às laterais, o fluxo pelas laterais é zero. Então, o fluxo total é:
Phi = E cdot A + E cdot A = 2EA
onde A é a área de cada face do cilindro e E é o campo elétrico que queremos encontrar.

Passo 7

Agora, calculamos a carga total dentro da superfície gaussiana. A carga dentro do cilindro é a densidade superficial de carga multiplicada pela área:
Qinterna = sigma(x) cdot A = sigma0 x cdot A
Substituindo na Lei de Gauss:
2EA = sigma0 x Avarepsilon0

Passo 8

Resolvendo para E:
E = sigma0 x2varepsilon0
Esse é o campo elétrico em um ponto a uma distância d do plano, considerando a variação da densidade superficial de carga.

Resposta

O campo elétrico no ponto distante d do plano é dado por:
E = sigma0 x2varepsilon0

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