Calcule a seguinte integral em coordenadas esféricas ao longo do sólido rho=1
integral triplaV e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas sobre o sólido definido por integral triplaV e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dV . O enunciado é:
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre coordenadas esféricas e a mudança de variáveis para facilitar a resolução dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que estamos lidando. Em coordenadas esféricas, as coordenadas x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi , dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta e são representadas por (distância do ponto à origem), (ângulo no plano ) e (ângulo com o eixo ). A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral dada em coordenadas esféricas. Observe que:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2
Portanto, a expressão dentro do expoente fica:
(x^2+y^2+z^2)^3/2 = (rho^2)^3/2 = rho^3
Substituindo na integral, temos:
integral triplaV e^rho^3 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Agora precisamos determinar os limites de integração. Como 0 <= rho <= 1 0 <= phi <= pi 0 <= theta <= 2pi , estamos integrando sobre uma esfera de raio 1. Assim:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^rho^3 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em integral0^1 e^rho^3 rho^2 , drho :
integral0^1 e^u cdot du3 = 13 ( e^1 - e^0 ) = e - 13
Fazendo uma substituição integral0^pi sinphi , dphi = 2 , temos integral0^2pi dtheta = 2pi , ou seja, . Então:
Agora, integramos em :
E por fim, integramos em :

Resposta

Multiplicando todos os resultados, temos:
e - 13 times 2 times 2pi = 4pi3 ( e - 1 )
Portanto, o valor da integral é .

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