Calcule a seguinte integral em coordenadas esféricas ao longo do sólido
Passo 1
Então, a gente tem que calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas sobre o sólido definido por
. O enunciado é:
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre coordenadas esféricas e a mudança de variáveis para facilitar a resolução dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que estamos lidando. Em coordenadas esféricas, as coordenadas
,
e
são representadas por
(distância do ponto à origem),
(ângulo no plano
) e
(ângulo com o eixo
). A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral dada em coordenadas esféricas. Observe que:
Portanto, a expressão dentro do expoente fica:
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora precisamos determinar os limites de integração. Como
, estamos integrando sobre uma esfera de raio 1. Assim:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em
:
Fazendo uma substituição
, temos
, ou seja,
. Então:
Agora, integramos em
:
E por fim, integramos em
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados, temos:
Portanto, o valor da integral é
.
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no ponto (
).
A locomotiva Big Boy podia puxar trens de 6000 toneladas com uma força de 602148 N (135375 lb). Nesse nível de força, cerca de quanto trabalho a locomotiva realizaou na jornada de 605 km (aproximadamente em līnha reta) de São Francisco a Los Angeles?
Esboce o gráfico das funções abaixo :
c)
c)
Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação
do ponto
até o ponto
.