Encontre pelo menos um dos vetores unitários que são tangentes e normais à curva y arctg(x) no ponto ( 1, pi / 4 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve vetores tangentes e normais em uma curva. O enunciado nos pede para encontrar pelo menos um dos vetores unitários que são tangentes e normais à curva no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a direção da tangente, e a partir daí determinar os vetores unitários tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de em relação a é:
Isso nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada no ponto específico :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação da tangente, podemos formar o vetor tangente. A inclinação corresponde a um vetor na direção .
Agora precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário. Para isso, calculamos o módulo do vetor:
Então, o vetor unitário tangente é:

Passo 5

Agora vamos encontrar o vetor normal. O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente. Para obter um vetor perpendicular, podemos trocar as componentes e mudar o sinal de uma delas. Então, a partir de , podemos obter .
Também precisamos tornar esse vetor unitário. Calculamos o módulo:
Assim, o vetor unitário normal é:

Resposta

Um dos vetores unitários tangente e normal à curva no ponto é:

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