Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação sigma(t) = (cost, sent, t) do ponto (1, 0, 0) até o ponto 1, 0, 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma hélice circular dada pela equação , começando no ponto e indo até . Para isso, vamos usar o conteúdo de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Vamos precisar das fórmulas de derivadas e integrais para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva , o comprimento do arco de até é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas das componentes da nossa hélice em relação a t.
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Lembrando que , temos:

Passo 5

Agora, podemos tirar a constante raiz(2) para fora da integral:

Resposta

O comprimento do arco da hélice é .

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