Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação
do ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma hélice circular dada pela equação
, começando no ponto
e indo até
. Para isso, vamos usar o conteúdo de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Vamos precisar das fórmulas de derivadas e integrais para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva
, o comprimento do arco de
até
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas das componentes da nossa hélice
em relação a
.
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Agora, podemos tirar a constante
para fora da integral:
Resposta
O comprimento do arco da hélice é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo :
c)
c)
Calcule a seguinte integral em coordenadas esféricas ao longo do sólido
Justifique a igualdade
, onde
cost, sent
e
.
Calcule a área da região limitada pela curva
sent,
cost ,
, e pelo eixo