Calcule a seguinte transformada inversa como uma convolução (Total de 4 pontos): L^-11(s^2+k^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa transformada inversa usando convolução! O enunciado pede para calcular . Aqui, vamos trabalhar com a Transformada de Laplace e utilizar a propriedade de convolução. Vamos precisar lembrar como funciona a transformada de funções trigonométricas básicas e como aplicar a convolução para transformar a expressão dada de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a transformada básica que temos. Sabemos que:
Lsin(kt) = ks^2 + k^2
Então, se quisermos a transformada inversa de L^-11s^2 + k^2 = sin(kt)k , ela seria:
1(s^2 + k^2)^2 = (1s^2 + k^2) cdot (1s^2 + k^2)
Como temos , podemos pensar nisso como o produto de duas transformadas iguais:
Aplicando a propriedade de convolução, temos que a transformada inversa do produto é a convolução das transformadas inversas individuais.

Passo 3

Vamos calcular a convolução:
f(t) = L^-11s^2 + k^2 * L^-11s^2 + k^2 = sin(kt)k * sin(kt)k
Isso significa que:
f(t) = integral0^t sin(ktau)k cdot sin(k(t - tau))k dtau = 1k^2 integral0^t sin(ktau) sin(k(t - tau)) dtau
Usando a identidade trigonométrica f(t) = 12k^2 integral0^t [cos(2ktau - kt) - cos(kt)] dtau , temos:
f(t) = 12k^2 [ sin(kt)k - tcos(kt) ]
Integrando cada termo:

Resposta

Portanto, a transformada inversa é:
L^-11(s^2+k^2)^2 = sin(kt)2k^3 - t cos(kt)2k^2

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