(a) |rrrr1 & -1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 & 3 3 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 3|;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o determinante da seguinte matriz 4x4:
1 & -1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 & 3 3 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 3
Para isso, vamos usar algumas técnicas de álgebra linear, como operações com linhas para simplificar a matriz e facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz pode ser encontrado transformando-a em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para isso, podemos fazer operações nas linhas sem mudar o valor do determinante.
Vamos começar eliminando os números abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o 1 no canto superior esquerdo).

Passo 3

Eliminando abaixo de 1 na primeira coluna:
  • Linha 2 (L2): Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
    L2 = L2 - 2 times L1 = [2 - 2 times 1, -1 - 2 times (-1), 1 - 2 times 0, 3 - 2 times 1] = [0, 1, 1, 1]
  • Linha 3 (L3): Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
    L3 = L3 - 3 times L1 = [3 - 3 times 1, 2 - 3 times (-1), -1 - 3 times 0, 1 - 3 times 1] = [0, 5, -1, -2]
  • Linha 4 (L4): Não precisamos alterar a Linha 4 porque o primeiro elemento já é 0.
Agora, a matriz fica assim:
1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 5 & -1 & -2 0 & 1 & 2 & 3

Passo 4

Agora, vamos eliminar os números abaixo do 1 na segunda coluna.
  • Linha 3 (L3): Subtraímos 5 vezes a Linha 2 da Linha 3.
    L3 = L3 - 5 times L2 = [0 - 0, 5 - 5 times 1, -1 - 5 times 1, -2 - 5 times 1] = [0, 0, -6, -7]
  • Linha 4 (L4): Subtraímos 1 vez a Linha 2 da Linha 4.
    L4 = L4 - 1 times L2 = [0 - 0, 1 - 1 times 1, 2 - 1 times 1, 3 - 1 times 1] = [0, 0, 1, 2]
A matriz agora fica:
1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -6 & -7 0 & 0 & 1 & 2

Passo 5

Por fim, vamos eliminar o número abaixo de -6 na terceira coluna.
  • Linha 4 (L4): Adicionamos L4 = L4 + (16 times L3) = [0 + 0, 0 + 0, 1 + (16 times (-6)), 2 + (16 times (-7))] = [0, 0, 0, 56] vezes a Linha 3 à Linha 4 para zerar o elemento na posição (4,3).
    1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -6 & -7 0 & 0 & 0 & 56
Agora, a matriz está na forma triangular superior:

Passo 6

Para encontrar o determinante de uma matriz triangular, basta multiplicar os elementos da diagonal principal. Então:
Determinante = 1 times 1 times (-6) times 56 = 1 times 1 times (-6) times 56 = -5

Resposta

O determinante da matriz é -5.

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[rrr 1 & 1 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 ][l x y z ]=[r 5 4 -4 ]
A=[rrr 0 & -1 & -2 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 ], B=[rrr 1 & -1 & 12 2 & 1 & 0 12 & -1 & 1 ], C=[rrr 1 & 2 & -12 1 & 2 & 0 -12 & 2 & 0 ]
Encontre as seguintes matrizes:
(a) A+4 B-2 C;
Calcule a seguinte transformada inversa como uma convolução (Total de 4 pontos): L^-11(s^2+k^2)^2
Resolva as seguintes equações diferenciais usando a transformada de Laplace (Total de 6 pontos): y^prime prime-6 y^prime+9 y=t^2 e(3 t), y(0)=2, y^prime(0)=6