Resolva as seguintes equações diferenciais usando a transformada de Laplace (Total de 6 pontos): y^prime prime-6 y^prime+9 y=t^2 e(3 t), y(0)=2, y^prime(0)=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y'' - 6 y' + 9 y = t^2 e^3 t
Com as condições iniciais:
y(0) = 2 e y'(0) = 6
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
E também precisaremos da transformada de:
Lt^2 e^3 t

Passo 3

Vamos realizar a transformada de Laplace em cada termo:
Ly'' - 6 y' + 9 y = Lt^2 e^3 t
Substituindo as transformadas dos derivados:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 6 (s Y(s) - y(0)) + 9 Y(s) = Lt^2 e^3 t

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais s^2 Y(s) - 2 s - 6 - 6 s Y(s) + 12 + 9 Y(s) = Lt^2 e^3 t e (s^2 - 6 s + 9) Y(s) + (-2 s - 6 + 12) = Lt^2 e^3 t :
(s^2 - 6 s + 9) Y(s) - 2 s + 6 = Lt^2 e^3 t
Simplificando os termos:

Passo 5

Precisamos calcular Lt^n e^a t = n!(s - a)^n+1 . Sabemos que:
Lt^2 e^3 t = 2!(s - 3)^3 = 2(s - 3)^3
Para (s^2 - 6 s + 9) Y(s) - 2 s + 6 = 2(s - 3)^3 e :
Então, nossa equação fica:

Passo 6

Vamos isolar (s^2 - 6 s + 9) Y(s) = 2(s - 3)^3 + 2 s - 6 :
(s - 3)^2 Y(s) = 2(s - 3)^3 + 2 s - 6
Note que (s - 3)^5 Y(s) = 2 + (2 s - 6)(s - 3)^3 . Substituindo:
Y(s) = 2(s - 3)^5 + 2 s - 6(s - 3)^2
Multiplicando ambos os lados por Y(s) = 2(s - 3)^5 + 2(s - 3)(s - 3)^2 = 2(s - 3)^5 + 2(s - 3) :
Mas isso complica as coisas. Vamos reorganizar de outra maneira:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando :

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-11(s - a)^n = t^n-1 e^a t(n - 1)! . Sabemos que:
L^-12(s - 3)^5 = 2 cdot t^4 e^3 t4! = 2 t^4 e^3 t24 = t^4 e^3 t12
Aplicando isso aos termos:
  1. Para L^-12(s - 3) = 2 e^3 t :
  1. Para :

Resposta

Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
y(t) = 2 e^3 t + t^4 e^3 t12

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