Resolva as seguintes equações diferenciais usando a transformada de Laplace (Total de 6 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E também precisaremos da transformada de:
Passo 3
Vamos realizar a transformada de Laplace em cada termo:
Substituindo as transformadas dos derivados:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais e :
Simplificando os termos:
Passo 5
Precisamos calcular . Sabemos que:
Para e :
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Vamos isolar :
Note que . Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por :
Mas isso complica as coisas. Vamos reorganizar de outra maneira:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando :
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso aos termos:
Para :
Para :
Resposta
Juntando tudo, a solução da equação diferencial é: