(2,0 pontos) Deduza uma equação da cônica de foco com excentricidade e diretriz . Esboce o gráfico da cônica especificando os elementos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para deduzir a equação de uma cônica que tem foco em , excentricidade e diretriz . A matéria envolvida aqui é a de Cônicas, especificamente tratando de parábolas, já que a excentricidade igual a 1 indica que estamos lidando com uma parábola. Vamos precisar entender o que são foco, diretriz e excentricidade para montar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é cada termo:
Foco: Um ponto fixo da cônica.
Diretriz: Uma reta fixa que está relacionada com a cônica.
Excentricidade (): Mede a “alongamento” da cônica. Para , a cônica é uma parábola.
Para uma parábola, a definição diz que é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.
Passo 3
Vamos usar a definição para montar a equação. Seja um ponto qualquer na parábola. A distância de ao foco é igual à distância de à diretriz .
A distância de ao foco é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância de à diretriz é a distância horizontal, que é:
Passo 4
Igualando as duas distâncias, temos:
Vamos eliminar a raiz e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Expandindo os quadrados:
Agora, vamos simplificar a equação cancelando termos semelhantes:
Passo 6
Isolando :
Resposta
A equação da parábola é . O gráfico dessa parábola tem seu foco em , diretriz na reta , e abre-se para a direita.