Calcule as seguintes derivadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. Vamos trabalhar com derivadas aqui, especificamente aplicando a regra do quociente, além de usar as regras de derivação de funções trigonométricas. Vamos precisar também usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função como um quociente, onde o numerador é
e o denominador é
. Para derivar
, usamos a regra do quociente:
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Para
, a derivada é simples:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Como é um produto de duas funções, aplicamos a regra do produto:
Passo 5
Derivando
e
usando a regra da cadeia:
Passo 6
Substituindo as derivadas no
:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, note que
. Então:
Passo 9
Podemos fatorar termos comuns no numerador:
Passo 10
Simplificando as potências das funções trigonométricas:
Resposta
A derivada da função é: