Calcule as seguintes derivadas f(x) = x^2 / (sen^11(x) cos^17(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Vamos trabalhar com derivadas aqui, especificamente aplicando a regra do quociente, além de usar as regras de derivação de funções trigonométricas. Vamos precisar também usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função como um quociente, onde o numerador é e o denominador é . Para derivar , usamos a regra do quociente:

Passo 3

Vamos calcular e .
Para , a derivada é simples:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Como é um produto de duas funções, aplicamos a regra do produto:

Passo 5

Derivando e usando a regra da cadeia:

Passo 6

Substituindo as derivadas no :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, note que . Então:

Passo 9

Podemos fatorar termos comuns no numerador:

Passo 10

Simplificando as potências das funções trigonométricas:

Resposta

A derivada da função é:

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