Calcule as seguintes derivadas: log 2(sen 2 x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada de . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas de funções compostas e logaritmos com bases diferentes. Vamos usar a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos para resolver.

Passo 2

Vamos lembrar que a derivada de loga(u), onde a é a base do logaritmo e u é uma função de x, pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
ddx loga(u) = 1u ln a cdot dudx
Aqui, usamos a propriedade de que a derivada do logaritmo em qualquer base envolve o logaritmo natural ( ln).

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa função, temos e u = sen 2x. Primeiro, encontramos a = 2:
Usamos a regra da cadeia aqui, onde derivamos a função seno e multiplicamos pela derivada do argumento dudx, que é 2.

Passo 4

Agora, substituímos u e dudx na fórmula da derivada do logaritmo:
Simplificando, temos:

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais usando a definição de cotangente, onde :
cot theta = cos thetasen theta

Resposta

A derivada de é:
log2(sen 2x)

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