Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada de . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas de funções compostas e logaritmos com bases diferentes. Vamos usar a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos para resolver.
Passo 2
Vamos lembrar que a derivada de
, onde
é a base do logaritmo e
é uma função de
, pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Aqui, usamos a propriedade de que a derivada do logaritmo em qualquer base envolve o logaritmo natural (
).
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa função, temos e
. Primeiro, encontramos
:
Usamos a regra da cadeia aqui, onde derivamos a função seno e multiplicamos pela derivada do argumento
, que é 2.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da derivada do logaritmo:
Simplificando, temos:
Passo 5
Podemos simplificar ainda mais usando a definição de cotangente, onde :
Resposta
A derivada de é: