Determine uma equação geral para o plano pi que contém A(2,1,-1) e B(3,2,3) e é perpendicular ao plano alpha: 3 x-y+2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano pi que passa pelos pontos A(2,1,-1) e B(3,2,3) e que é perpendicular ao plano alpha: 3x - y + 2z = 0. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a equação de um plano pode ser escrita na forma geral:
a x + b y + c z + d = 0
onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal para o plano pi.

Passo 3

Sabemos que o plano pi deve passar pelos pontos A e B. Vamos encontrar o vetor que vai de A até B. Esse vetor é dado por:
AB = B - A = (3 - 2, 2 - 1, 3 - (-1)) = (1, 1, 4)
Esse vetor AB está contido no plano pi.

Passo 4

Agora, como o plano pi é perpendicular ao plano alpha, os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares entre si. O vetor normal do plano alpha é:
nalpha = (3, -1, 2)
Portanto, o vetor normal do plano pi, que chamaremos de npi, deve satisfazer a condi�o de ser perpendicular a nalpha.

Passo 5

Para encontrar o vetor normal npi, vamos usar o produto vetorial entre AB e nalpha. O produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores:
npi = AB times nalpha
Calculando:
npi = i & j & k 1 & 1 & 4 3 & -1 & 2 = i(1 cdot 2 - 4 cdot (-1)) - j(1 cdot 2 - 4 cdot 3) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 3)
npi = i(2 + 4) - j(2 - 12) + k(-1 - 3)
npi = 6i + 10j -4k = (6, 10, -4)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal npi = (6, 10, -4), podemos usar um dos pontos dados para encontrar a equação do plano. Vamos usar o ponto A(2,1,-1).
A equação do plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (a, b, c) é o vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano.
Substituindo os valores:
6(x - 2) + 10(y - 1) -4(z + 1) = 0

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
6x - 12 + 10y -10 -4z -4 = 0
6x + 10y -4z -26 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
6x + 10y - 4z - 26 = 0

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