Determine uma equação geral para o plano que contém e e é perpendicular ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a equação de um plano pode ser escrita na forma geral:
onde é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal para o plano .

Passo 3

Sabemos que o plano deve passar pelos pontos e . Vamos encontrar o vetor que vai de até . Esse vetor é dado por:
Esse vetor está contido no plano .

Passo 4

Agora, como o plano é perpendicular ao plano , os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares entre si. O vetor normal do plano é:
Portanto, o vetor normal do plano , que chamaremos de , deve satisfazer a condi�o de ser perpendicular a .

Passo 5

Para encontrar o vetor normal , vamos usar o produto vetorial entre e . O produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores:
Calculando:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal , podemos usar um dos pontos dados para encontrar a equação do plano. Vamos usar o ponto .
A equação do plano é dada por:
onde é o vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes derivadas:
Encontre a soluçāo do sistema linear , onde
e
Estude a posição relativa dos planos
No caso de serem transversais, encontre uma equação planar da reta .
Determine a equação do plano que passa:
pelo ponto e é paralelo ao plano ;