Determine uma equação geral para o plano que contém e e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de perpendicularidade entre planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a equação de um plano pode ser escrita na forma geral:
onde é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal para o plano .
Passo 3
Sabemos que o plano deve passar pelos pontos e . Vamos encontrar o vetor que vai de até . Esse vetor é dado por:
Esse vetor está contido no plano .
Passo 4
Agora, como o plano é perpendicular ao plano , os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares entre si. O vetor normal do plano é:
Portanto, o vetor normal do plano , que chamaremos de , deve satisfazer a condi�o de ser perpendicular a .
Passo 5
Para encontrar o vetor normal , vamos usar o produto vetorial entre e . O produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores:
Calculando:
npi = i(2 + 4) - j(2 - 12) + k(-1 - 3)
npi = 6i + 10j -4k = (6, 10, -4)
Passo 6
Agora que temos o vetor normal npi = (6, 10, -4), podemos usar um dos pontos dados para encontrar a equação do plano. Vamos usar o ponto A(2,1,-1).
A equação do plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (a, b, c) é o vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano.