Seja F: R^3 R^2, definida por F(x, y, z)=(x+y, 2 z). Determine a matriz da transformaçăo linear F, isto varepsilon, com B e C as bases canônicas de R^3 e R^2, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar as bases canônicas de e , que são conjuntos de vetores padrão em cada espaço. Vamos precisar entender como transformar os vetores básicos de usando e montar a matriz com esses resultados.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá o resultado da transformação. Para encontrar essa matriz, a gente vai aplicar e1 = 1 0 0 , e2 = 0 1 0 , e3 = 0 0 1 em cada um dos vetores da base canônica de , que são:
Cada resultado vai formar uma coluna da matriz que estamos buscando.

Passo 3

Vamos aplicar F(e1) = F(1, 0, 0) = (1 + 0, 2 cdot 0) = (1, 0) no primeiro vetor da base, 1 0 :
Isso significa que a primeira coluna da nossa matriz será .

Passo 4

Agora, aplicamos F(e2) = F(0, 1, 0) = (0 + 1, 2 cdot 0) = (1, 0) no segundo vetor da base, 1 0 :
A segunda coluna da matriz também será .

Passo 5

Por último, aplicamos F(e3) = F(0, 0, 1) = (0 + 0, 2 cdot 1) = (0, 2) no terceiro vetor da base, 0 2 :
A terceira coluna da matriz será .

Resposta

Assim, a matriz da transformação linear varepsilon = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é:

Exercícios relacionados