Seja , definida por . Determine a matriz da transformaçăo linear , isto , com B e C as bases canônicas de , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar as bases canônicas de e , que são conjuntos de vetores padrão em cada espaço. Vamos precisar entender como transformar os vetores básicos de usando e montar a matriz com esses resultados.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá o resultado da transformação. Para encontrar essa matriz, a gente vai aplicar em cada um dos vetores da base canônica de , que são:
Cada resultado vai formar uma coluna da matriz que estamos buscando.
Passo 3
Vamos aplicar no primeiro vetor da base, :
Isso significa que a primeira coluna da nossa matriz será .
Passo 4
Agora, aplicamos no segundo vetor da base, :
A segunda coluna da matriz também será .
Passo 5
Por último, aplicamos no terceiro vetor da base, :