No caso de serem transversais, encontre uma equação planar da reta .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos:
Plano π₁ dado pela equação .
Plano π₂ descrito de forma paramétrica:
O conteúdo principal aqui é posição relativa de planos no espaço. Precisamos verificar se os planos são paralelos, coincidentes ou se eles se interceptam (são transversais). Se forem transversais, queremos encontrar a equação da reta de interseção ₁₂.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos são transversais. Dois planos são transversais se eles se interceptam em uma reta. Para isso, eles não podem ser paralelos.
Para verificar se os planos são paralelos, comparamos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é o vetor cujos coeficientes são os coeficientes das variáveis na equação do plano.
Para o plano ₁, o vetor normal é .
Para o plano ₂, que está dado parametricamente, precisamos primeiro encontrar a sua equação geral para identificar o vetor normal.
Passo 3
Vamos achar a equação geral do plano ₂. Sabemos que um plano parametrizado por
tem como vetores diretores e . O vetor normal é o produto vetorial desses vetores diretores.
No caso de ₂:
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, o vetor normal de ₂ é .
Passo 4
Agora, para verificar se os planos são paralelos, comparamos os vetores normais. Se um vetor normal for múltiplo escalar do outro, os planos são paralelos.
Vamos verificar se existe um escalar tal que :
Isso implica que:
Da primeira equação, . Da segunda, . Da terceira, . Como não há um valor único para que satisfaça todas, os vetores normais não são múltiplos escalares. Portanto, os planos não são paralelos; eles são transversais e se interceptam em uma reta.
Passo 5
Agora que sabemos que os planos são transversais, vamos encontrar a equação da reta de interseção ₁₂.
Uma estratégia é substituir as coordenadas paramétricas de ₂ na equação de ₁.
As coordenadas de ₂ são:
Substituindo essas na equação de ₁:
Passo 6
Com , vamos substituir de volta nas equações de ₂ para encontrar as coordenadas da reta de interseção em termos de :
Podemos reescrever a equação paramétrica da reta substituindo por um parâmetro :
Passo 7
Para expressar a reta de forma vetorial, podemos escrever: