Calcule as seguintes derivadas
Passo 1
Vamos calcular a derivada de
. Esse exercício envolve o estudo de derivadas, mais especificamente a derivada da função tangente e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber qual é a derivada de
e como utilizar a regra da cadeia quando temos uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada da função tangente é dada por:
Isso significa que ao derivar
, obtemos o quadrado da secante de
.
Passo 3
Agora, observamos que temos uma função composta:
. Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando queremos derivar uma função que é composta por outra função, ou seja, quando temos algo do tipo
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, consideramos:
-
, cuja derivada -
, cuja derivada
De acordo com a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
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( ) Se
e
são divergentes, então
é divergente.
(b) encontre a soma da série e a escreva como o quociente de dois inteiros.
Ache a série de Taylor de:
em torno de
e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
a. ,
a.