Ache a série de Taylor de: f(x) = raiz(x) em torno de a = 4 e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a série de Taylor da função em torno de . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas que vamos explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o que é uma série de Taylor? É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, queremos expandir ao redor de .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , assim . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, vamos usar a série binomial para expandir . A série binomial para é:
onde são os coeficientes binomiais generalizados.

Passo 5

No nosso caso, e . Substituindo na série binomial:

Passo 6

Vamos calcular os primeiros termos da série para termos uma ideia de como fica:
Assim, a série fica:

Passo 7

Lembrando que , vamos multiplicar toda a série por 2:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:

Passo 9

Portanto, a série de Taylor de em torno de é:

Passo 10

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série binomial converge quando . No nosso caso:

Passo 11

Isso significa que deve estar no intervalo:
E o raio de convergência é 4.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é 4.

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