Ache a série de Taylor de: em torno de e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a série de Taylor da função em torno de . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas que vamos explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o que é uma série de Taylor? É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, queremos expandir ao redor de .
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , assim . Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos usar a série binomial para expandir . A série binomial para é:
onde são os coeficientes binomiais generalizados.
Passo 5
No nosso caso, e . Substituindo na série binomial:
Passo 6
Vamos calcular os primeiros termos da série para termos uma ideia de como fica:
Assim, a série fica:
Passo 7
Lembrando que , vamos multiplicar toda a série por 2:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Passo 9
Portanto, a série de Taylor de em torno de é:
Passo 10
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série binomial converge quando . No nosso caso:
Passo 11
Isso significa que deve estar no intervalo:
E o raio de convergência é 4.
Resposta
A série de Taylor de em torno de é:
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é 4.